Методические указания по выполнению контрольной работы № 2

Задания контрольной работы №2 выполняются после выполнения заданий контрольной работы №1. Необходимо решить задачи по построению эпюр внутренних силовых факторов возникающих в двухопорных балках, многопролетных балках и рамах. Базой для решения данного типа задач является материал изученный в разделе «Статика», «Сопротивление материалов».

Первую задачу (задачи 1-10) следует решить после изучения тем 2.4 и 2.5. Во всех задачах необходимо предварительно определить опорные реакции. Следует помнить что при построении эпюры М у строителей принято откладывать значения М со стороны растянутых волокон, т.е. положительными – вниз, а отрицательными – вверх от оси балки.

Последовательность решения задачи:

1. Определяем опорные реакции балки (для консольных балок опорные реакции можно не определять, а внутренние усилия в поперечных сечениях можно определить через внешние нагрузки, расположенные правее (левее) от рассматриваемых сечений).

2. Разбиваем балку на характерные участки и строим эпюру поперечных сил, предварительно определив значение их в характерных точках (каждая точка рассматривается два раза).

3. По характерным точкам строим эпюру изгибающих моментов, предварительно определив значение их.

4. Вычисляем требуемый момент сопротивления балки W_X = M_max / R.

5. Определяем размеры поперечного сечения балки и сравниваем их.

6. Проверяем на сдвиг сечение балки по формуле Журавского

τ_max = Q_max S_x^отс / J_xb.

Пример 1.Для заданной двухопорной балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, подобрать сечение балки в виде прямоугольника у которого = 2/3. Проверить балку на сдвиг. Принять R = 130 Mпа, R_S = 10 Mпа. (рис 9)

Решение:

F=20kH

BF

2,4 м

x = 2,6 м

1 м

5 м

1 м

С

VA=46kH

А

К

M, kH*m

Q, kH

13,8

22,5

q=10kH/м

--

--

--

VB=10kH

m=15kH*м

D

Рис. 9

1. Определяем опорные реакции балки:

∑m_A = 0;

-F *1 + q * 5 * 2,5 + m – V_B * 5 = 0;

∑m_B = 0;

-F *6 + V_A * 5 -q * 5 * 2,5 + m = 0;

X = 0; H_A = 0,

Проверка:

∑Y = 0;

V_A + V_B – q * 5 – F = 0;

46 + 24 - 50 – 20 = 0.

2. Строим эпюру Q методом прохода по характерным точкам (ход слева):

Q_C^лев = 0;

Q_С^прав = Q_А^лев = - F = - 20 (kH);

Q_A^прав = - F + V_A = -20 + 46 = 26 (kH);

Q_В^лев = - F + V_A – q * 5 = - 20 +46 – 50 = -24 (kH);

Q_В^прав = - F + V_A – q * 5 + V_B = - 24 +24 = 0;

Q_K = - F + V_A – q * x = 0 → x = = 2,6 (м).

3. Строим эпюру М (ход слева):

при z = 0 → M_C = 0;

z = 1 → M_A = - F * 1 = -20 (kH*м);

z = 3,6 → M_K = -F * 3,6 + V_A * 2,6 – q *2,6 *1,3 = -20 * 3,6 +46 * 2,6 – 10 * 2,6 * 1,3 = 13,8 (kH*м);

z = 6 → M_B = -F * 6 + V_A * 5 – q * 5 * 2,5 = -20 * 6 +46 * 5 – 10 *5 *2,5 =

- 15(kH*м);

z = 7 (ход справа) → M_D = - m = -15 (kH*м).

4. Определяем требуемый момент сопротивления балки:

5. Определяем сечение, приняв , по формуле .

b =

6. Проверяем на сдвиг:

_max =

Ответ:b = 16 см, h = 24 см.

Вторую задачу (задачи 11- 20)следует решать после изучения темы 3.5. Во всех задачах требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, что является начальной стадией расчета многопролетных шарнирных балок. Далее по этим эпюрам можно подбирать или проверять сечение балок.

Последовательность решения задачи:

1. Проверка геометрической низменности и недопустимости системы:

Ш = С_ОП – 3

где – число Ш промежуточных шарниров,

С_ОП – число опорных стержней.

2. Составление схемы взаимодействия элементов шарнирно-консольной балки. Римскими цифрами указывается порядок их расчета.

3. Расчет частей составной балки с определением опорных реакций, построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

4. Построение общей эпюры поперечных сил для всей шарнирно-консольной балки.

5. Построение общей для всей балки эпюры изгибающих моментов.

Пример 2. Построить эпюры М_X и Q_X для шарнирно-консольной многопролетной балки (рис. 10).

Решение: Шарнирные балки представляют собой цепочку из однопролетных консольных и простых балок, соединенных между собой шарнирами и образующих в целом статически определимую систему.

а)

M (kH*м)

22,5

RB

В

в)

А

RA

L1 =5м

F=18kH

--

--

Q (kH)

б)

--

M (kH*м)

III

II

I

Е

D

С

2,0

В

L

Q (kH)

32,6

17,4

27,4

22,5

7,5

7,5

A

3,0

1,0

5,0

2,5

2,5

A

F=18kH

L

Е

В

С

г)

в)

б)

15,2

22,5

q=10kH/м

а)

--

--

--

--

Рис. 10 Рис.11

1. Расчет балки I (рис. 11)

--- Определение опорных реакций R_A = R_B = F/2 = 9 kH;

--- Определение поперечной силы Q_A = R_A = 9 kH(ход слева);

Q^лев_{сеч F} = R_A= 9 kH; Q^прав_{сеч F} = R_A – F = 9 – 18 = -9 kH;

Q_B = R_B = 9 kH (ход справа);

--- Определение изгибающих моментов. Для данного нагружения балки максимальный изгибающий момент находится посередине пролета и может быть вычислен по формуле

M_x = F1₁/4 = 18*5/4 = 22,5 kHm; M_A = 0;

M_B = 0.

Строим эпюры M_x и Q_x по найденным величинам (рис. 11)

Fq

32,6

M (kH*м)

15,2

RB=9 kH

q=10kH/м

в)

B

RD

Rc

1,5

3,5

5,0

C

D

К

х

17,4

2,0

а)

--

--

--

Q (kH)

б)

Rc

L

D

1,5

17,4

22,5

27,4

в)

а)

1,0

E

RE

3,0

q=10kH/м

RD=17,4 kH

M (kH*м)

--

--

--

Q (kH)

б)

Рис. 12 Рис.13

2. Расчет балки II должен быть произведен с учетом силы давления на нее в точке В от балки I, равной противоположно направленной опорной реакции R_B (рис. 12).

--- Определение опорных реакций

∑М_с = - R_B * 2 + q * 7 * 1,5 – R_D * 5 = 0;

R_D = (-R_B * 2 + q * 7 * 1,5) / 5 = 17,4 kH;

∑М_D = - R_B * 7 - q * 7 * 3,5 + R_C * 5 = 0;

R_C = (R_B * 7 + q * 7 * 3,5) / 5 = 61,6 kH.

Проверка ∑Y = - R_B + R_C – q * 7 + R_D = - 9 + 61,5 – 70 + 17,6 = 0.

--- Определение поперечной силы

Ход слева: Q_B^прав = - R_B = - 9 kH;

Q_C^лев = - R_B – q * 2 = - 9 - 20 = -29 kH;

Q_C^прав = Q_C^лев + R_C = - 29 + 61,6 = 32,6 kH;

Ход справа: Q_D^лев = - R_D = - 17,4 kH;

Q_C^прав = Q_D^лев + q * 5 = - 17,4 + 50 = 32,6 kH.

По найденным значениям строим эпюру Q_X (рис. 12). находим расстояние х от опоры С до точки К, в которой поперечная сила равна нулю, так как именно этому сечению на эпюре изгибающих моментов соответствует вершина параболы.

Ход слева: Q_K = - R_B – q (2+x) + R_C = 0;

-9 – 10 (2+x) + 61,6 = 0;

10x = 32,6;

x = 3,26 м.

--- Определение изгибающих моментов

Ход слева: M_B = 0; M_C = - R_B * 2 – q * 2 * 1,0 = - 38 kHм;

Ход справа: M_D = 0; M_K = R_D (5 – x) – q ((5 - x)²/2) = 15,2 kHм;

По найденным значениям строим эпюру М_Х (рис. 23в).

3. Расчет балки III должен быть произведен с учетом силы давления на нее в точке D от балки II, равной противоположно направленной опорной реакции R_D(рис. 13).

--- Определение опорных реакций

∑М_E = - R_D * 1 - q * 1 * 0,5 – R_L * 3 = 0;

R_D = (-R_D * 1 - q * 1 * 0,5) / 3 = - 7,5 kH;

∑М_L = - R_D* 4 - q * 1 * 3,5 + R_E * 3 = 0;

R_E = (R_D * 4 + q * 1 * 3,5) / 3 = 34,9 kH.

Проверка ∑Y = R_L + R_E – q * 1 - R_D = - 17,4 - 10 + 34,9 - 7,5 = 0.

--- Определение поперечной силы

Ход слева: Q_D^прав = - R_D = - 17,4 kH;

Q_E^лев = - Q_D^прав – q * 1 = - 17,4 - 10 = -27,4 kH;

Q_E^прав = Q_E^лев + R_E = -27,4 + 34,9 = 7,5 kH;

Ход справа: Q_L^лев = - R_L = - ( -7,5) = 7,5 kH;

По найденным значениям строим эпюру Q_X (рис. 13).

--- Определение изгибающих моментов

Ход слева: M_D = 0;

Ход справа:M_L = 0; M_E = R_L * 3 = - 22,5 kHм.

По найденным значениям строим эпюру М_Х (рис. 13).

Для построения общих для всей шарнирной балки эпюр M_X и Q_X необходимо эпюры, полученные выше для каждого элементы в отдельности, расположить на одной оси, вычертив их в одном масштабе (рис. 10).

Третью задачу (задачи 21- 30)следует решать после изучения темы 3.5. Во всех задачах требуется построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов продольных сил действующих в сечениях рамы. Построение таких эпюр является начальной стадией расчета рамных конструкций применяемых в железобетонных, металлических и деревянных сооружениях.

Последовательность решения задачи:

1.Определение опорных реакций. (Используя уравнение для плоской системы произвольно расположенных сил).

2. Построение эпюр поперечных сил, изгибающихся моментов, продольных сил методом прохода по характерным точкам.

3.Проверка решения задачи методом вырезания узлов.

Следует знать что: поперечную силу в сечении будем опреде­лять как алгебраическую сумму проекций всех внешних сил, приложенных к элементам части рамы, расположенной по одну сторону от этого сечения, на ось, перпендикулярную к оси рассматриваемого элемента. Поперечная сила считается положительной, если вызывающая ее внешняя сила при рас­смотрении левой отсеченной части рамы стре­мится сдвинуть эту часть в направлении от наблюдателя или при рассмотрении правой части — приблизить последнюю к наблюдате­лю. Если же внешняя сила стремится прибли­зить левую часть рамы к наблюдателю или правую отодвинуть от него, то поперечную силу считают отрицательной.

Изгибающий момент в любом сечении ра­мы численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных к элементам части рамы, расположенной по од­ну сторону от рассматриваемого сечения от­носительно его центра тяжести (на расчетной схеме рамы—относительно точки сечения, лежащей на оси соответствующего момента).

Если внешняя сила, вызывающая изгибающйй момент, по отношению к наблюдателю, расположенному как было сказано, стремит­ся повернуть относительно указанной выше точки левую часть рамы по часовой стрелке или правую ее часть против часовой стрелки, то изгибающий момент положительный. Если же наблюдателю вращение представляется в противоположном направлений, то изгибаю­щий момент отрицательный.

Продольную силу будем принимать положительной, если внешняя сила вызывает в рассматриваемом сечении растяжение, и отрицательной, если в сечении вызывается сжатие.

При построений эпюрQ, M и N условимся придерживаться следующих правил:

1. Ось стержня принимается за ось абсцисс.

2. Вычисленные ординаты эпюр откладыва­ются в соответствующих сечениях перпенди­кулярно к оси рассматриваемого стержня.

3. Положительные ординаты эпюры Q от­кладываются вверх от оси ригеля и влево от оси стойки, а отрицательные – соответственно вниз и вправо от оси. Знак на эпюре ста­вится.

4.Ординаты эпюры М откладываются со стороны растянутых волокон элементов рамы. Знак на эпюре не ставится.

5.Ординаты эпюры N откладываются сим­метрично по обе стороны от оси рассматрива­емого стержня. Знак на эпюреN обязателен.

6.Штриховка эпюр производится перпен­дикулярно к оси соответствующего стержня.

Пример 3.Для статически определимой рамы построить эпюры М_, Q и N. Проверить равновесие узла.

Решение: Построение эпюры Q. За ось абсцисс принимаем ось любого стержня. Перпендикулярно ей мысленно проводим ось ординат и проецируем на нее силы, действующие соответственно слева и справа от рассматриваемого сечения, учитывая правила знаков.

С

D

2

2

l = 4м

В

A

F = 5 kH

q = 2kH/м

б)

4

В

A

С

Q (kH)

9

9

в)

г)

д)

9

9

А

В

С

N (kH)

M (kH*м)

В

4

22

22

A

С

Узел С

NСТ

МСТ

Qриг

Мриг

22

a)

Рис. 14

Ригель ВС. Ход справа. Поперечную силу определяем по характерным точкам (аналогично простым балкам).

Q_B = 0;

Q_D^прав = q (1/2) = 4 kH;

Q_D^лев = Q_D^прав + f = 9 kH;

Q_С = Q_D^лев =9 kH/

Стойка АС. Повернем лицом к стойке, проведем мысленно ось перпендикулярно оси стойки и спроецируем на нее силы ходом справа : Q_С=0; Q_A = 0. Изобразим полученные результаты графически. Проведем ломанную линию АВС (рис. 14б) и от нее, как от нулевой линии, отложим вычисленные ординаты эпюры поперечных сил. Положительные ординаты эпюры для ригеля откладываются вверх от нулевой линии и влево от нулевой линии для стойки. Отрицательные соответственно вниз и вправо от нулевой линии.

Построение эпюры М (рис. 14в ). Изгибающий момент в сечениях рамы определяем также по характерным точкам ходом справа (со свободного конца).

Ригель ВС. M_B = 0;

M_D = -q (1²/8) = - 4 kH m;

M_C = -F1 / 2 – q *1/2 *3/41 = - 22 kH m.

Стойка АС. Как и при определении поперечной силы, при переходе от ригеля к стойке повернемся на 90⁰, лицом к стойке. Точка С принадлежит одновременно и ригелю и стойке, поэтому М_С^стойки = М_С^риг = 2 22 kH m. Так как в данной задаче непосредственно к стойке не приложены внешние нагрузки, а плечи сил F и Q остаются неизменяемыми, то в любом сечении от С до А изгибающий момент один и тот же. М_А = М_С = - 22 kH m. При построении эпюры изгибающих моментов (как и в балках) положительные ординаты откладываем со стороны растянутых волокон.

Построение эпюры N (рис. 12г). Определяя продольную силу, проецируем заданные силы на ось абсцисс, совмещая ее сначала с ригелем, затем со стойкой. Продольная сила в любом сечении ригеля равна нулю, N_CB = 0, так как справа от сечения действует нагрузка, перпендикулярная его оси. Продольная сила во всех сечениях стойки постоянна, так как сама стойка не нагружена и на ось стойки дают проекцию силы F и 2q. N_CA = - F – 2q = - 9 kH. Ординаты эпюры продольных сил откладываем симметрично по обе стороны от оси рассматриваемого элемента. Знак плюс, поставленный на эпюре N, соответствует деформации растяжения, знак минус – сжатия.

Для проверки правильности построения эпюр рассмотрим равновесие узла С. Для этого мысленно вырежем этот узел, проведя два сечения на бесконечно близком расстоянии, в ригеле справа от узла, в стойке – слева от него.

Вырезанный таким образом узел дает возможность, рассматривая сечение в ригеле, считать узел отнесенный к левой части ригеля, а при рассмотрении сечения в стойке – к правой части стойки. Прикладываем к узлу С внутренние силовые факторы Q_X, M_X и N, беря их значение с эпюр с учетом знака, показывающего направление их действия (рис. 14д).

Из эпюры Q_X видим, что поперечная сила в сечении С ригеля положительна. Поскольку точка С относится к левой части рамы (согласно принятому ранее), Q_риг согласно правилу знаков направляем вниз. На стойке поперечная сила отсутствует.

Из эпюры M_X видим, что изгибающий момент вызывает растяжение верхних волокон. Следовательно, с учетом правила знаков в ригеле изгибающий момент М_С направляем оп часовой стрелке, а в стойке (узел С относим к правой части рамы) – против часовой стрелки. Продольная сила N_CA вызывает в сечении и, следовательно, должна быть направлена в сторону этого сечения.

Для равновесия узла должны соблюдаться следующие условия:

∑X_i = 0; ∑Y_i = 0; ∑M_C = 0.

Составим эти уравнения, направив ось Х вправо, а ось Y вертикально вверх:

∑X_i = 0; ∑Y_i = N_ст – Q_риг = 9 - 9 = 0; ∑M_C = М^стойки – М^риг = 22 - 22= 0.

Условия равновесия соблюдаются. Следовательно, внутренние силовые факторы определены правильно.