Интерполяционный многочлен Ньютона
Пусть − набор узлов интерполирования, − значения функции в узлах.
Величину называют конечной разностью первого порядка в к-ом узле.
Аналогично определяются конечные разности высших порядков.
.
Разделенной разностью первого порядка называется выражение
,
.
Разделенной разностью второго порядка называется выражение
и т. д.
Используя представление функции f(x) в текущей точке x через разделенные разности можно показать, что
. (2.9)
Очевидно, при
т. е. − интерполяционный многочлен. Его называют интерполяционным многочленом Ньютона.
Рассмотрим случай равноотстоящих узлов, т. е. xi-xi-1=h
Тогда после нескольких преобразований получим:
интерполяционный многочлен Ньютона-Грегори:
.
Пример:
Пусть требуется найти интерполяционный многочлен для функции , имеющей в узлах , , ,
значения , , , .
Шаг h=1,m=4.
Вычислим конечные разности:
xi | ||||
3 2 4 | -2 -1 2 | 3 |
N3(x)=5+-2/(1!*1)(x-0)+1/(2!*12)(x-0)(x-1)+2/(3!*13)(x-0)(x-1)(x-2)
Аналитический вид полинома Ньютона-Грегори третьего порядка:
Варианты заданий
1. Во всех вариантах требуется аппроксимировать заданную исходную функцию f(x) многочленом Лагранжа на интервале [a, b], m - количество точек (узлов), в которых задана функция. Т.е. таблица исходной функции yi=f(xi) вычисляется в точках
2. Используя полученную таблицу требуется вычислить значения функций и погрешность в точках
(в узловых точках d(xj=xi )=0)
Таблица 2.1
N | Функция f(x) | а | В | m |
-2 | ||||
-8 | ||||
-2 | ||||
-5 | ||||
-1 | ||||
-3 | ||||
-4 |
2. Для всех вариантов проведите линейную интерполяцию между двумя соседними узлами для десяти дополнительных промежуточных точек.
3. Используя исходную таблицу yi=f(xi) i=1,m, получите аналитический вид полинома Ньютона-Грегори Nm-1(x). Требуется вычислить значения функций и погрешность в точках
Можно только теоретически !!!
4. Постройте графики и проанализируйте качество полученной аппроксимации.
Контрольные вопросы
1. Как ставится задача линейной аппроксимации функций?
2. Что такое интерполяция, ее геометрическая интерпретация?
3. Напишите интерполяционный многочлен Ньютона 2-го порядка.
4. Напишите интерполяционный многочлен Лагранжа 2-го порядка.
5. Как получить формулу линейной интерполяции?
ЗАДАНИЕ 3. Алгоритмы численного интегрирования
Цель работы: изучить приемы составления алгоритмов и написания программ для вычисления определенных интегралов. Научиться вычислять определенные интегралы с заданной точностью.