Декартовая система координат в пространстве

i j k – базис ДС

1. |i|=|j|=|k|=1

2. i┴J┴k

3. i j k –правая тройка тогда k=ixj

32.

axb= ixj=k ixk=-j jxi=-k jxk=I kxj=-I kxi=j

38.

Уравнение плоскости через точку

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

Общее уравнение

Ax+By+Cz+D=0

39.

Пересечения с осями

Ox- x=-D/A

Oy- y=-D/B

Oz- z=-D/C

ABC-наклон D-сдвиг

1. D=0 Проходит через н.к.
2. A=0 Не пересекает ох
3. А=0, Д=0 Плоскость проходит через ox
4. A=0, B=0 плоскость параллельна плоскости Oxy

40.

Уравнение плоскости в отрезках

ó

42.

Расстояние от точки до плоскости

43.

Взаимное расположение плоскостей

1.α₂||α₁ если N₁||N₂

2.α₂┴α₁ Если N₁N₂=0 A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0

3. Угол между плоскостями – угол между N₁ и N₂

46.

Каноническое уравнение прямой Параметрические уравнения прямой

47.

Прямая на пересечении 2 плоскостей.

D₁ не равно D₂

48.

49.

1. l₁||l₂ если S₁||S₂ =>

2. . l₁┴l_{2 если} S₁┴S₂ =>S₁S₂=0 =>m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂

Угол между прямыми

cosA=

Направляющие косинусы прямой – косинусы направляющего вектора.

50.

Расстояние от точки до прямой.

P – проекция M*

M*P||N

D=|M*P|=|Pr_NM₀M|=|N*M₀M|/|N|=

= =

=

51.

Угол между прямой и плоскостью

Расположение прямой и плоскости.

1. l||α => SN=>NS=0 óAm+Bn+Cp=0
2. l┴α => S||N =>

52.

Проекция точки на плоскость

α: Ax+By+Cz+D=0

l:

x=x*+At

y=y*+Bt

z=z*+Ct

подставляем вα: и получаем

Проекция точки на прямую

l:

l ┴α: m(x-x*)+n(y-y*)+p(z-z*)=0

x=x*+At

y=y*+Bt

z=z*+Ct

53.

Проекция прямой на плоскость.

I способ

1. Найти две точки на прямой А и В

2. Найти проекцию этих точек на плоскость А’ и B’

3. Провести l’ через A’B’

l:

II способ

N_b=N_axS={A1,B1,C1}

β: A1x+B1y+C1z+D1=0

x=x*+At

y=y*+Bt

z=z*+Ct

S₁=NaxNb

55, 57.

1. Каноническое уравнение

2. Параметрическое уравнение x=x₀+mt y=y₀+nt

3. Общее уравнение Ax+By+C=0

4. с угловым коэффициентом y=kx+b

58.

1. l₁||l₂ если S₁||S₂ => или k₁=k₂ или

2. l₁┴l₂ если S₁S₂=0=> A₁A₂+B₁B₂=0

59.

= tgA=k

Угол между 2 прямыми

60.

Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (центра). Если r – радиус окружности, C(a, b) – ее центр, то уравнение окружности имеет вид

|M₀M|=R

=>

61.

Эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух фиксируемых точек (фокусов) есть величина постоянная (ее обозначают через 2a), большая расстояния между фокусами.

|F₁F₂|=2c |MF₁|+|MF₂|=2a

где a – большая, b – малая полуось эллипса, причем a, b, c связаны соотношением a² = b² + c².

Форма эллипса характеризуется его эксцентриситетом e = .

Расстояния некоторой точки M(x, y) эллипса от фокусов (фокальные расстояния) определяются формулами r₁ = a + ex и r₁ = a – ex.

В силу определения эллипса для любой его точки r₁ + r₂ = 2a.

Директрисами эллипса называются прямые, определяемые уравнениями x = ± .

62.

Гипербола есть геометрическое место точек, модуль разности расстояний которых от двух данных точек (фокусов) есть постоянная величина (ее обозначают через 2а), причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами.

Если поместить фокусы гиперболы в точках F₁ (-c, 0) и F₂(c, 0) (рис. 3.3.2), то получим каноническое уравнение гиперболы

,

где a – действительная, b – мнимая полуось.

Рис. 3.3.2

Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат.

На этих прямых лежат диагонали характеристического прямоугольника, основание которого равно 2а, высота 2b, а центр находиться в начале координат.

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы.

Директрисами гиперболы называются прямые, определяемые уравнениями .

Фокальные радиусы правой ветви гиперболы r₁=ex–a, r₂=ex+a. Очевидно, r₂ – r₁=2a.

Фокальные радиусы левой ветви гиперболы r₁=-ex+a, r₂=-ex–a. Очевидно, r₁ – r₂ = 2a.

Асимптота – прямая к которой график функций приближается очень близко, при больших значениях x и y.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых .

Сопряженная гипербола

63.

Парабола есть геометрическое место точек в плоскости, равноудаленных от фокуса) и директрисы.

Если директрисой параболы является прямая , a фокусом точка (рис. 3.3.3), то каноническое уравнение параболы имеет вид

y² = 2px.

Рис. 3.3.3

Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс. При p>0 парабола обращается в положительную сторону оси, а при p<0 – в отрицательную.

Фокальный радиус вычисляется по формуле

q= |MM’|=

Каноническое уравнение параболыy²=2px

А) - мнимый эллипс

- точка O(0,0,0)

б) - гипербола

- сопряженная гипербола

- 2 пересекающиеся прямые

в) y²=2px – парабола ось симметрии 0x

x²=2py - парабола ось симметрии 0y

y²=zp p=0=> ось ox p<0 нет