Задачи для самостоятельного решения. 1)Найти интервалы возрастания, убывания функции и экстремумы
1)Найти интервалы возрастания, убывания функции и экстремумы
а) ; б) ; в) .
2)Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции:
а) ; б) ; в) .
3)Найти асимптоты графика функции:
а) ; б) ; в) .
Ответы
1)а) Функция возрастает при , убывает при ; — точка минимума.
б) Функция возрастает при , убывает при ; — точка минимума; — точка разрыва.
в) Функция возрастает при , убывает при ; — точка максимума, — точка минимума.
2) а) График функции выпуклый при , вогнутый при ; — точка перегиба.
б) График функции выпуклый при , вогнутый при ; — точки перегиба.
в) График функции выпуклый при , вогнутый при ; — точка перегиба.
3) а) ; б) ; в) .
Занятие №12
Общая схема исследования функций и построения их графиков
Исследование функций и построение их графиков следует проводить по следующему плану:
1)Найти область определения функции; указать точки разрыва;
2)Определить чётность (нечётность), периодичность функции;
3)Найти интервалы возрастания (убывания) функции и её экстремумы;
4)Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции;
5)Найти асимптоты графика функции;
6)Найти точки пересечения графика с осями координат;
7)Построить график по результатам этого исследования.
Примеры
I.Исследовать функцию и построить её график.
1) Область определения функции: ; — точка разрыва 2-го рода;
2) функция не является ни чётной, ни нечётной (так как не выполняются равенства для всех из области определения функции); функция не является периодической;
3) найдём .
Имеем: при ; при . Получаем следующее распределение знаков , по которому мы определяем, на каких интервалах функция возрастает, а на каких — убывает:
x | |||||
y' | — | + | ∞ | — | |
y | Точка минимума | Точка разрыва |
Так как знак при переходе через точку изменяется с «—» на «+», то в этой точке у функции минимум, причём ;
4)Найдём . Очевидно, что при . Поэтому точек перегиба нет, а график функции вогнутый всюду;
x | |||
y'’ | + | ∞ | + |
y | Точка раз-рыва |
5) Найдём асимптоты графика. Прямая — вертикальная асимптота, так как — точка разрыва 2-го рода. Ищем наклонные асимптоты вида . Имеем:
; . Поэтому — наклонная асимптота при .
6) Найдём точки пересечения графика с осями координат. Для этого в общем случае надо взять и найти соответствующее значение . Затем взять и найти соответствующее значение . В данном случае получаем только одну такую точку: .
7) Построить график функции по результатам этого исследования. Для этого сначала строим асимптоты (если они есть), и указываем опорные точки: экстремумы, точки перегиба, точки пересечения с осями координат.
1
Рис. 2
Замечание. График функции асимптоту не пересекает, так как уравнение не имеет решений.
II.Исследовать функцию и построить её график.
¨ 1) Область определения функции: ; — точки разрыва.2-го рода;
2)Функция нечётная, т.е. ; функция не является периодической.
3)Найдём . Имеем: при ; при . Получаем следующее распределение знаков , по которому мы определяем, на каких интервалах функция возрастает, а на каких — убывает.
x | |||||||||||
y' | — | + | ∞ | + | + | ∞ | + | — | |||
y | Т.мин. | Точка разр. | Т. разр. | Т. макс. |
Так как знак при переходе аргумента через точки меняется, то в этих точках — экстремумы, причём , .
4)Найдём . Очевидно, что при ; при . Получаем следующую расстановку знаков , по которой мы определяем, на каких интервалах график функции выпуклый, а на каких — вогнутый.
x | |||||||
y'’ | + | ∞ | — | + | ∞ | — | |
y | Т.раз-рыва. | Т. пере-гиба | Т.раз-рыва |
5) Найдём асимпоты графика. Прямые — вертикальные асимптоты, так как — точки разрыва 2-го рода. Ищем наклонные асимптоты вида . Имеем:
; . Поэтому — наклонная асимптота при .
6) Найдём точки пересечения графика с осями координат. В данном случае получаем только одну такую точку .
7) Построим график по результатам этого исследования:
-3 3
Рис. 3
Перечень вариантов домашней контрольной работы по теме
«Исследование функций и построение их графиков»
1) а) ; б) ;
2) а) ; б) ;
3) а) ; б) ;
4) а) ; б) ;
5) а) ; б) ;
6) а) ; б) ;
7) а) ; б) ;
8) а) ; б) ;
9) а) ; б) ;
10) а) ; б) ;
11) а) ; б) ;
12) а) ; б) ;
13) а) ; б) ;
14) а) ; б) ;
15) а) ; б) ;
16) а) ; б) ;
17) а) ; б) ;
18) а) ; б) ;
19) а) ; б) ;
20) а) ; б) ;
21) а) ; б) ;
22) а) ; б) ;
23) а) ; б) ;
24) а) ; б) ;
25) а) ; б) ;
26) а) ; б) ;
27) а) ; б) ;
28) а) ; б) ;
29) а) ; б) ;
30) а) ; б) ;
31) а) ; б) ;
32) а) ; б) ;
33) а) ; б) ;
34) а) ; б) ;
35) а) ; б) ;
36) а) ; б) ;
37) а) ; б) ;
38) а) ; б) ;
39) а) ; б) ;
40) а) ; б) ;
Список литературы
1) И.Л. Соловейчик, В.Т. Лисичкин. Сборник задач по математике с решениями для техникумов. М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2003, 464 стр.
2) В.С. Шипачёв. Задачи по высшей математике. М.: Высшая школа; 1997; 304 стр.
3) Д.Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. М.: Айрис-пресс, 2004; 288 стр.
Издание учебное
Скворцова Мария Ивановна