Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума.

Находим производную:

Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru = Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru .

В области допустимых значений производная не имеет точек разрыва.

Нули производной находим, решая уравнение Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru =0; Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru ; Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru .

Точка Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru разбивает область допустимых значений на два интервала Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru и Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru . Определяем знаки производной на каждом интервале и по знакам производной определяем интервалы возрастания и убывания функции. Результаты сводим в таблицу.

x (0; Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru ) ( Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru ;+¥)
+ -
Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru y      

В точке Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru производная меняет знак с плюса на минус. Значит, точка Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru является точкой максимума функции. Вычислим значение функции в этой точке. Имеем Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru .

7. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика функции.

Находим вторую производную

Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru .

В области допустимых значений вторая производная точек разрыва не имеет. Для определения точек, в которых она равна нулю, решаем уравнение Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru =0; Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru ; Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru ; Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru .

Определяем интервалы знакопостоянства второй производной и интервалы выпуклости и вогнутости функции. Результаты сводим в таблицу.

x (0; Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru ) ( Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru ;+¥)
y¢¢ - +
y   Ç È

Вторая производная меняет знак в точке х= Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru , следовательно, эта точка является точкой перегиба. Вычислим значение функции в этой точке. Имеем Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru .

На основании проведенного исследования строим график функции.

Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru

Задача.

Методами дифференциального исчисления провести полное исследование функции и построить ее график: Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru .

Решение.

1. Область определения данной функции – вся числовая ось.

Четность, нечетность функции.

Имеем Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru . Данная функция не является ни четной, ни нечетной.

Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат.

Поскольку данная функция элементарная и определена на всей числовой оси, то она непрерывна на всей числовой оси.

Для определения нулей функции решаем уравнение Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru ; 2x+3=0; Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru .

Интервалы знакопостоянства функции.

Функция может изменить знак только в одной точке Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru . Определим интервалы знакопостоянства функции.

x Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru
y - +

Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru при Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru .

Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru при Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru .

Найдем точки пересечения с осями:

y=3 при x=0, следовательно Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru - точка пересечения с осью Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru .

Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru при Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru , следовательно Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru - точка пересечения с осью Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru

Асимптоты графика функции.

А. Вертикальные асимптоты.

Поскольку функция непрерывна на всей числовой оси, то вертикальных асимптот нет.

Б. Наклонные асимптоты.

Учитывая разное поведение функции Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru при Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru и при Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru , будем искать асимптоты по отдельности для Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru и Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru .

Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru .

Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru .

Отметим, что во втором пределе присутствует неопределенность вида Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru , которую мы обратили в неопределенность вида Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru . Далее предел вычисляется по правилу Лопиталя, в соответствии с которым предел отношения при наличии неопределенности равен пределу отношения производных числителя и знаменателя. Итак, при Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru график исследуемой функции имеет горизонтальную асимптоту, совпа­дающую с осью Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru : y=0.

Выясним, существует ли наклонная асимптота при Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru .

Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru

Поскольку коэффициент k не имеет конечного значения, делаем вывод о том, что график не имеет наклонной асимптоты при Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума. - student2.ru .

Наши рекомендации