Пример. Найти неопределенные интегралы

а)

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию

Применим вначале метод замены переменной:

(*)

- неправильная рациональная дробь

Выделим целую часть, для этого выполним следующие преобразования:

Использовали формулы таблицы интегралов:

Ответ:

4. Интегрирование по частям.

Если и - дифференцируемые функции, то интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле:

Интегрирование по частям применяется для интегрирования некоторых трансцендентных функций (lnx, arcsinx, arctgx и тд.), а также произведений алгебраических и трансцендентных функций:

принимаем за

принимаем за

принимаем за ;

принимаем за ;

принимаем за ;

Аналогичные подстановки и для обратных функций где - многочлен ,,n” степени.

Пример.

Решение

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

Примем за

Найдем дифференциал функции u:

По dv найдем функцию v:

(одна из первообразных; постоянную «с» не прибавляем)

Итак,

Полученный интеграл найдем, применяя метод замены переменной (формула (*))

Применили формулу таблицы основных интегралов

Итак,

Ответ:

Иногда, чтобы свести данный интеграл к табличному, приходится применять формулу интегрирования по частям несколько раз.

5. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе.

При интегрировании выражений, содержащих квадратный трехчлен, будем рассматривать такие виды интегралов:

1) ; 3) ;

2) ; 4) ;

где a, b, c, A, B,-действительные числа.

Чтобы найти интеграл вида 1), нужно дополнить квадратный трехчлен до полного квадрата и свести его к табличному вида (18);(19);(20).

(18)

(19)

(20)

Чтобы найти интеграл вида 2), нужно решать по схеме:

а) найти производную квадратного трехчлена и записать ее в числитель;

б) уравнять коэффициенты в числителе;

в) интеграл разбить на два интеграла и свести к одной из формул вида (18), (19) или (20).

Интеграл вида 3) после выделения полного квадрата сводится к табличному интегралу вида(21) или (16).

Интеграл вида 4) решается по плану, предложенному для нахождения интегралов вида 2), но интеграл нужно свести к табличному вида (16) или (21).

6. Интегрирование рациональных дробей.

Рациональной дробью называется дробь вида , где

и - многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если показатель степени многочлена ниже показателя степени многочлена , в противном случае дробь называется неправильной.

Если дробь неправильная, то делением числителя на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен выделяют “целую” часть и представляют дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби. Затем правильную дробь разлагают в сумму элементарных дробей.

Простейшими (элементарными) дробями называются дроби следующего вида:

1. 2. где

3. , где

т.е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей:

1.

2.

3.

т.е. нахождение интеграла (3) уже известно, так как , то он сводится к табличному интегралу (18).

Приведенные формулы для интегрирования простейших дробей запоминать не обязательно. В каждом конкретном примере эти интегралы следует находить изученными ранее методами.

Для разложения правильной рациональной дроби на элементарные, необходимо сначала разложить знаменатель на линейные и квадратные множители:

,

Затем записать схему разложения данной дроби на элементарные в следующем виде;

где - некоторые постоянные.

В этом разложении следует обратить внимание на следующее:

- если в знаменателе линейный множитель или его степень, то в числителе постоянное число;

- если в знаменателе квадратный трехчлен ( с комплексными корнями) или его степень, то в числителе многочлен первой степени.

Постоянные коэффициенты правой части разложения (*) находятся методом неопределенных коэффициентов двумя способами:

I способ.

1. Приведением дробей правой части к общему знаменателю получаем равенство двух дробей с одинаковыми знаменателями;

2. Приравнивая числители дробей, получаем тождественно равные многочлены.

3. Используя теорему о тождественно равных многочленах, сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в обоих частях полученного тождества. Это приводит к системе, из которой находятся искомые коэффициенты. Этот способ называется способом сравнения.

Подставив найденные коэффициенты в разложение дроби , сводим интегрирование этой дроби к интегрированию известных простейших дробей.

Проще при этом вычисляются коэффициенты, если в качестве числовых значений брать действительные корни знаменателя.

II способ - способ частных значений.

Можно определить коэффициенты, если в полученном тождестве переменной x придать произвольные значения или корни знаменателя, если они есть. Часто бывает полезно комбинировать оба способа.

Определенный интеграл

Пусть функция определена и ограничена на отрезке [a, b] и - произвольное разбиение этого отрезка на n элементарных промежутков. Предположим, что на каждом отрезке выбрана точка . Тогда сумма называется интегральной суммой функции на отрезке [a, b], а её предел при , если он существует и конечен, называется определенным интегралом от функции в пределах от a до b и обозначается так:

Определенный интеграл не должен зависеть от разбиений и выбора точек .

Если определенный интеграл существует, то функция называется интегрируемой на отрезке [a; b].

Если функция непрерывна на отрезке [a; b], то существует первообразная от этой функции на отрезке [a; b].