Функции и последовательности

ЛЕКЦИИ

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Новосибирск 2006

СОДЕРЖАНИЕ

§1 Функции и последовательности………………………………………..
§2 Предел функции………………………………………………………….
  1. Окрестности точек числовой прямой………………………………
  2. Определение предела функции……………………………………..
  3. Основные свойства пределов……………………………………….
§ 3 Бесконечно малые функции……………………………………………
  1. Бесконечно малые и их свойства……………………………………
  2. Бесконечно большие функции………………………………………
  3. Виды неопределенностей и замечательные пределы……………...
  4. Вычисление пределов с помощью эквивалентных бесконечно малых………………………………………………………………….
§ 4 Непрерывность функций………………………………………………..
  1. Понятие непрерывной функции…………………………………….
  2. Свойства функций, непрерывных в точке………………………….
  3. Точки разрыва и их классификация………………………………...
  4. Односторонняя непрерывность……………………………………..
  5. Свойства функций, непрерывных на отрезке………………………

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

ФУНКЦИИ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Пусть каждому вещественному числу x из некоторого числового множества D поставлено в соответствие однозначно определенное вещественное число y. Тогда говорят, что на множестве D задана функция f, такая, что f (x) = y.

Множество D называется областью определения функции f, число x — ее аргументом, а число y — значением функции f в точке x.

Множество E = {y Î R: y = f (x), xÎD} называется областью значений функции f.

Если D = N (множество натуральных чисел), то такая функция называется последовательностью, задается и обозначается множеством своих значений {x n}. Например, последовательность x n = функции и последовательности - student2.ru принимает следующие значения:

x 1 = функции и последовательности - student2.ru , x 2 = функции и последовательности - student2.ru , x 3 = функции и последовательности - student2.ru

 
  функции и последовательности - student2.ru

Графиком G функции f называется множество точек плоскости Oxy с координатами ( x, f (x) ), x Î D.

 
 
 

Способы задания функций:

1. аналитический

а) с помощью одной формулы, например, f (x) = 3x + 7;

б) с помощью нескольких формул, например, f (x) = функции и последовательности - student2.ru ;

в) неявно, в виде уравнения вида F ( x, y ) = 0,

например, x 2 + arctg (xy) – 1= 0;

г) в виде суперпозиции функций: F ( x) = f ( u ( x)). Например,

функции и последовательности - student2.ru , то есть y = sin u, u = функции и последовательности - student2.ru ; функции и последовательности - student2.ru , то есть y = e u, u = cos v, v = 3x.

2. графический;

3. табличный, в виде

x x1 x n
f (x) y1 y n

Основными элементарными функциями называются известные из школьного курса математики функции: степенная y = x a (с целым или дробным показателем), показательная y = a x, логарифмическая y = log a x, все тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Функции, полученные из основных элементарных функций с помощью арифметических действий или в виде суперпозиции, называются элементарными.

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке [a, b], если для любых x 1, x 2 из этого промежутка, таких что x 1< x 2 справедливо неравенство f (x 1) £ f (x 2). Если f (x 1) < f (x 2), то функция f (x) строго возрастает.

Функция f (x) называется убывающей на промежутке [a, b], если для любых x 1, x 2 из этого промежутка, таких что x 1< x 2 справедливо неравенство f (x 1) ³ f (x 2). Если f (x 1) > f (x 2), то функция f (x) строго убывает.

Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.

В частности, последовательность {x n} называется монотонно возрастающей (убывающей), если для любого nÎN справедливо неравенство x n £ x n+1 (x n ³ x n+1).

Функция f (x) называется ограниченной сверху на промежутке [a, b], если существует такое число M, что для любого числа x из этого промежутка справедливо неравенство f (x ) £ M.

Функция f (x) называется ограниченной снизу на промежутке [a, b], если существует такое число m, что для любого числа x из этого промежутка справедливо неравенство f (x ) ³ m.

Функция, ограниченная на [a, b] и сверху, и снизу, называется ограниченной на [a, b]. Условие ограниченности функции может быть также записано в виде: существует число K, такое что | f (x) | £ K для любого x из [a, b].

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Наши рекомендации