Функции и последовательности
ЛЕКЦИИ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Новосибирск 2006
СОДЕРЖАНИЕ
| §1 | Функции и последовательности……………………………………….. | ||
| §2 | Предел функции…………………………………………………………. | ||
| 1. | Окрестности точек числовой прямой……………………………… | ||
| 2. | Определение предела функции…………………………………….. | ||
| 3. | Основные свойства пределов………………………………………. | ||
| § 3 | Бесконечно малые функции…………………………………………… | ||
| 1. | Бесконечно малые и их свойства…………………………………… | ||
| 2. | Бесконечно большие функции……………………………………… | ||
| 3. | Виды неопределенностей и замечательные пределы……………... | ||
| 4. | Вычисление пределов с помощью эквивалентных бесконечно малых…………………………………………………………………. | ||
| § 4 | Непрерывность функций……………………………………………….. | ||
| 1. | Понятие непрерывной функции……………………………………. | ||
| 2. | Свойства функций, непрерывных в точке…………………………. | ||
| 3. | Точки разрыва и их классификация………………………………... | ||
| 4. | Односторонняя непрерывность…………………………………….. | ||
| 5. | Свойства функций, непрерывных на отрезке……………………… |
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
ФУНКЦИИ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Пусть каждому вещественному числу x из некоторого числового множества D поставлено в соответствие однозначно определенное вещественное число y. Тогда говорят, что на множестве D задана функция f, такая, что f (x) = y.
Множество D называется областью определения функции f, число x — ее аргументом, а число y — значением функции f в точке x.
Множество E = {y Î R: y = f (x), xÎD} называется областью значений функции f.
Если D = N (множество натуральных чисел), то такая функция называется последовательностью, задается и обозначается множеством своих значений {x n}. Например, последовательность x n = 
принимает следующие значения:
x 1 = 
, x 2 = 
, x 3 = 
…
 |
Графиком G функции f называется множество точек плоскости Oxy с координатами ( x, f (x) ), x Î D.
| |
Способы задания функций:
1. аналитический
а) с помощью одной формулы, например, f (x) = 3x + 7;
б) с помощью нескольких формул, например, f (x) = 
;
в) неявно, в виде уравнения вида F ( x, y ) = 0,
например, x 2 + arctg (xy) – 1= 0;
г) в виде суперпозиции функций: F ( x) = f ( u ( x)). Например,
, то есть y = sin u, u = 
; 
, то есть y = e u, u = cos v, v = 3x.
2. графический;
3. табличный, в виде
| x | x1 | … | x n |
| f (x) | y1 | … | y n |
Основными элементарными функциями называются известные из школьного курса математики функции: степенная y = x a (с целым или дробным показателем), показательная y = a x, логарифмическая y = log a x, все тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Функции, полученные из основных элементарных функций с помощью арифметических действий или в виде суперпозиции, называются элементарными.
Функция f (x) называется возрастающей на промежутке [a, b], если для любых x 1, x 2 из этого промежутка, таких что x 1< x 2 справедливо неравенство f (x 1) £ f (x 2). Если f (x 1) < f (x 2), то функция f (x) строго возрастает.
Функция f (x) называется убывающей на промежутке [a, b], если для любых x 1, x 2 из этого промежутка, таких что x 1< x 2 справедливо неравенство f (x 1) ³ f (x 2). Если f (x 1) > f (x 2), то функция f (x) строго убывает.
Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.
В частности, последовательность {x n} называется монотонно возрастающей (убывающей), если для любого nÎN справедливо неравенство x n £ x n+1 (x n ³ x n+1).
Функция f (x) называется ограниченной сверху на промежутке [a, b], если существует такое число M, что для любого числа x из этого промежутка справедливо неравенство f (x ) £ M.
Функция f (x) называется ограниченной снизу на промежутке [a, b], если существует такое число m, что для любого числа x из этого промежутка справедливо неравенство f (x ) ³ m.
Функция, ограниченная на [a, b] и сверху, и снизу, называется ограниченной на [a, b]. Условие ограниченности функции может быть также записано в виде: существует число K, такое что | f (x) | £ K для любого x из [a, b].
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ