Дифференциальные уравнения с разделяющимисяпеременными
Определение: Дифференциальное уравнение с разделяющи-мися переменными имеет вид
M1(x)·N1(y))dx + M2(x)·N2(y)dy=0.
Алгоритм решения:
1) Поделим все члены уравнения наN1(y)·M2(x), получим:
, здесь переменные разделены.
2) Интегрируем обе части равенства:
,
после чего находим общее решение данного дифференциального уравнения в виде
Пример: Найти общее решение дифференциального уравнения: соs2y·ctgxdx + sin2x tgydy=0.
Решение:
Разделим на cos2y·sin2y
, переменные разделены.
Проинтегрируем обе части полученного равенства.
Интегралы находим методом подстановки.
или
Произведя обратную подстановку, получим:
или Отсюда,
Ответ: - общее решение уравнения.
Однородные дифференциальные уравнения
Первого порядка
Определение:Однородной функцией переменных x и y называется функция, все члены которой имеют одинаковую степень.
Например, - однородные функции второй и третьей степени соответственно.
Определение: Уравнение вида , где и - однородные функции одной и той же степени, называетсяоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющими переменными подстановкой, где – новая искомая функция.
Пример 1: Найти общее решение уравнения
.
Решение: Положим . Дифференцируя равенство y = ux, получим . Подставляя выражения в уравнение, получим:
Разделим переменные в полученном уравнении.
;
Интегрируем, . Отсюда, .
Сделаем обратную замену: , получим .
Ответ: .
Линейные дифференциальные уравнения
Первого порядка
Определение: Уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Уравнения такого вида сводятся к двум уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где , - некоторые функции, зависящие от x.
Алгоритм решения:
1) Вводится подстановка , тогда .
2) Исходное уравнение принимает вид:
.
3) Группируются слагаемые при u.
.
4) Выражение в скобках приравнивается к нулю:
.
Это уравнение с разделяющимися переменными, решая его, находим .
5) Полученное значение v подставляется в выражение:
.
Решив уравнение с разделяющимися переменными, получим функцию .
6) Общее решение уравнения запишется в виде:
.
Пример 1: Найти общее решение уравнения
.
Решение: Обозначим , тогда .
Уравнение примет вид .
Вынесем во втором и третьем слагаемом общий множитель за скобки, получим .
Выражение в скобках приравняем к нулюv′ - vtgx = 0
Перепишем в виде
Умножая обе части уравнения на , получим ,
интегрируем
находим , применим замену
получим ,
откуда или , .
Пропотенцируем обе части равенстваv = .
Найденную функцию подставим в выражение и решим полученное уравнение
du = sinx∙cos∙xdxили
Интегрируем ,
Получим .
Зная функции u и v , можно записать ответ.
Ответ: Общее решение уравнения у = .
Пример 2: Найти частное решение дифференциального уравнения , если при .
Решение: Пусть , тогда .
Отсюда, .
Вынесем u за скобки: .
Приравняв скобку к 0 , получим: .
Отсюда, , .
Интегрируем ,
, , .
Подставив в выражение , получим уравнение относительно функции u и решим его.
, , , .
Проинтегрируем . Функция .
Запишем общее решение уравнения : .
Частное решение найдем из условия при .
, , .
Частное решение заданного уравнения имеет вид: .
Ответ: - частное решение уравнения.