Асимптоты графика функции

Исследование функции с помощью производной.

Теорема 1. Условие монотонности ф-ции.

Для того, чтобы дифференцируемая на интервале (a,b) y=f(x) возрастала (убывала) н. и д. f’(x)>0 (f’(x)<0) для всех xc(a,b).

Док-во. Достаточность. f’(x)>0, д-ть ↑ на (a,b).

f(x) ↑ на (с₁,с₂), если x₁<x₂, f(x₁)<f(x₂).

f(x₂)-f(x₁)=f’(c)(x₂<x₁) >0.

Исследование функции с помощью второй производной. Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба.

Пусть y=f(x) имеет на (a,b) y’’=f’’(x).

y=f(x) выпуклая на (a,b), если график ф-ции расположен ниже любой ее касательной на этом интервале. А если график расположен выше, то ф-ция вогнута.

Теорема 1. Достаточный признак выпуклости (вогнутости).

Если f’’(x)<0, xc(a,b) ф-ция выпукла. А если f’’(x)>0, то ф-ция вогнута.

Т. x₀c(a,b) назыв. точкой перегиба y=f(x), если при переходе аргумента х через эту точку вторая производная y’’=f’’(x) меняет знак (меняет направление выпуклости или вогнутости).

Теорема 2. Необходимое условие перегиба.

Пусть x₀c(a,b) есть точка перегиба y=f(x). Тогда, если в этой т. ф-ция имеет вторую производную, то она обязательно=0.

Корни ур-ния f’’(x)=0 назыв. точками, подозрительными на перегиб. Также такими точками явл. точки, в кот. производная не сущ. Все они назыв. критическими точками 2-ого рода.

Теорема 3. Достаточное условие перегиба.

Если f’’(x)=0, т.е. х₀ – крит.т. 2-ого рода и при переходе т. х₀ f’’(x) меняет знак, то т. х₀ явл. т.перегиба ф-ции y=f(x).

Замечание. Точками, подозрительными на перегиб, могут быть точки, в кот. f’’(x) не сущ.

Локальный экстремум.

Необходимое условие экстремума.

Если y=f(x) имеет в т. х₀ лок.экстремум, то f’(x)=0 или не сущ. Эти все точки явл. критическими точками.

Достаточное условие экстремума.

Если при переходе аргумента х через эту точку слева направо у’ меняет знак с + на -, то х₀ – т. лок. max.

Если при переходе аргумента х через крит. точку слева направо у’ меняет знак с - на +, то х₀ – т. лок. min.

Если f’’(x₀)<0,то функция имеет локальный максимум; если f’’(x₀)>0, - локальный минимум; если f’’(x₀)=0, точка x=x₀ может и не быть экстремальной.

Асимптоты графика функции.

Прямая y=kx+b наз. асимптотой кривой y=f(x), если расстояние от точки М на графике до прямой при неограниченном удалении графика от начала координат стремится к нулю.

Если существуют числа, при которых , т. е. функция имеет бесконечные разрывы, то прямые наз. вертикальными асимптотами кривой y=f(x).

Если существуют пределы , b= (конечные), то прямые y=kx+b – наклонные асимптоты кривой (при k=0 горизонтальные). Если ф-цию можно представить в виде y=kx+b+α(х), где α(х) при х +∞(-∞) наклонная асимптота.

5. Общая схема построения графика с полным исследованием функции.

1) найти ОДЗ;

2) исследовать на четность (нечетность) функцию;

3) исследовать на непрерывность, установить характер точек разрыва функции, и определить асимптоты;

4) исследовать функцию на монотонность и экстремум с помощью первой производной;

5) исследовать на вогнутость (выпуклость) и найти точки перегиба

6) найти пересечение графика ф-ции с осями координат;

7) произвести необходимые дополнительные вычисления;

8) построить график функции.