Асимптоты графика функции

Асимптоты графика функции

Определение. Прямая асимптоты графика функции - student2.ru называется вертикальной асимптотой графика функции асимптоты графика функции - student2.ru , если хотя бы одно из предельных значений асимптоты графика функции - student2.ru или асимптоты графика функции - student2.ru равно асимптоты графика функции - student2.ru или асимптоты графика функции - student2.ru .

Заметим, что если прямая асимптоты графика функции - student2.ru , является вертикальной асимптотой, то точка асимптоты графика функции - student2.ru — это точка разрыва второго рода, в которой функция асимптоты графика функции - student2.ru не определена. Поэтому для того, чтобы найти вертикальные асимптоты нужно исследовать точки, в которых функция не определена.

Определение. Прямая асимптоты графика функции - student2.ru называется наклонной асимптотой графика функции асимптоты графика функции - student2.ru при асимптоты графика функции - student2.ru ( асимптоты графика функции - student2.ru ), если асимптоты графика функции - student2.ru представима в виде асимптоты графика функции - student2.ru , где асимптоты графика функции - student2.ru — бесконечно малая функция при асимптоты графика функции - student2.ru ( асимптоты графика функции - student2.ru ).

Теорема. Для того, чтобы график функции асимптоты графика функции - student2.ru имел наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали два конечных предельных значения

асимптоты графика функции - student2.ru , (1)

асимптоты графика функции - student2.ru . (2)

Пример. Найти асимптоты графика функции асимптоты графика функции - student2.ru .

Данная функция не определена в точке асимптоты графика функции - student2.ru . Найдем предельное значение функции при асимптоты графика функции - student2.ru

асимптоты графика функции - student2.ru .

Следовательно, график этой функции имеет вертикальную асимптоту асимптоты графика функции - student2.ru .

Чтобы выяснить, есть ли у графика функции наклонные асимптоты, найдем предельные значения (1), (2):

асимптоты графика функции - student2.ru ,

асимптоты графика функции - student2.ru .

Итак, прямая асимптоты графика функции - student2.ru является наклонной асимптотой графика при асимптоты графика функции - student2.ru и асимптоты графика функции - student2.ru .



19.ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Понятие первообразной функции

Определение. Функция асимптоты графика функции - student2.ru называется первообразной функцией для функции асимптоты графика функции - student2.ru на интервале асимптоты графика функции - student2.ru , если в любой точке асимптоты графика функции - student2.ru этого интервала функция асимптоты графика функции - student2.ru дифференцируема, и ее производная асимптоты графика функции - student2.ru равна асимптоты графика функции - student2.ru .

Свойства первообразных

1) Если функция асимптоты графика функции - student2.ru является первообразной функцией для функции асимптоты графика функции - student2.ru на интервале асимптоты графика функции - student2.ru , то и функция асимптоты графика функции - student2.ru , где асимптоты графика функции - student2.ru — произвольная постоянная, также является первообразной функцией для функции асимптоты графика функции - student2.ru на интервале асимптоты графика функции - student2.ru .

Действительно,

асимптоты графика функции - student2.ru .

2) Если асимптоты графика функции - student2.ru и асимптоты графика функции - student2.ru — первообразные функции для функции асимптоты графика функции - student2.ru на интервале асимптоты графика функции - student2.ru , то повсюду на этом интервале асимптоты графика функции - student2.ru , где асимптоты графика функции - student2.ru — некоторая постоянная.

Положим асимптоты графика функции - student2.ru . Так как каждая из функций асимптоты графика функции - student2.ru и асимптоты графика функции - student2.ru дифференцируема на интервале асимптоты графика функции - student2.ru , то и асимптоты графика функции - student2.ru дифференцируема на этом интервале. Причем всюду на интервале асимптоты графика функции - student2.ru справедливо равенство

асимптоты графика функции - student2.ru .

Так как производная асимптоты графика функции - student2.ru равна нулю в любой точке интервала асимптоты графика функции - student2.ru , то функция асимптоты графика функции - student2.ru является постоянной на этом интервале.

3) Если функция асимптоты графика функции - student2.ru является первообразной функцией для функции асимптоты графика функции - student2.ru на интервале асимптоты графика функции - student2.ru , то любая первообразная функция асимптоты графика функции - student2.ru для функции асимптоты графика функции - student2.ru на интервале асимптоты графика функции - student2.ru имеет вид асимптоты графика функции - student2.ru , где асимптоты графика функции - student2.ru — некоторая постоянная.

Это утверждения является следствием свойства 2.

Неопределенный интеграл

Определение. Совокупность всех первообразных функции асимптоты графика функции - student2.ru на интервале асимптоты графика функции - student2.ru называется неопределенным интегралом от функции асимптоты графика функции - student2.ru и обозначается символом асимптоты графика функции - student2.ru . В этом обозначении знак асимптоты графика функции - student2.ru называется знаком интеграла, асимптоты графика функции - student2.ru — подынтегральным выражением, асимптоты графика функции - student2.ru — подынтегральной функцией, асимптоты графика функции - student2.ru . — переменной интегрирования.

Если функция асимптоты графика функции - student2.ru является первообразной функцией для функции асимптоты графика функции - student2.ru на интервале асимптоты графика функции - student2.ru , то в силу приведенного выше следствия

асимптоты графика функции - student2.ru ,

где асимптоты графика функции - student2.ru — произвольная постоянная.

Заметим также, что, если для функции асимптоты графика функции - student2.ru на интервале асимптоты графика функции - student2.ru существует первообразная функция, то подынтегральное выражение представляет собой дифференциал любой первообразной. Действительно, если асимптоты графика функции - student2.ru является первообразной функцией для функции асимптоты графика функции - student2.ru на интервале асимптоты графика функции - student2.ru , то асимптоты графика функции - student2.ru .



20.Свойства неопределенного интеграла.

Пусть функция асимптоты графика функции - student2.ru имеет на некотором интервале первообразную функцию асимптоты графика функции - student2.ru . Неопределенный интеграла имеет следующие свойства:

1. асимптоты графика функции - student2.ru .

Действительно, используя определение неопределенного интеграла, имеем

асимптоты графика функции - student2.ru .

2. асимптоты графика функции - student2.ru .

Так как асимптоты графика функции - student2.ru , а первообразной для функции асимптоты графика функции - student2.ru является функция асимптоты графика функции - student2.ru , то согласно определению неопределенного интеграла получим

асимптоты графика функции - student2.ru .

3. асимптоты графика функции - student2.ru .

Пусть асимптоты графика функции - student2.ru — первообразная для функции асимптоты графика функции - student2.ru . Тогда свойство 3 можно записать в виде

асимптоты графика функции - student2.ru ,

Следовательно, свойство 3 означает, что асимптоты графика функции - student2.ru — это первообразная для функции асимптоты графика функции - student2.ru . Покажем, что последнее утверждение справедливо. Действительно,

асимптоты графика функции - student2.ru .

4. асимптоты графика функции - student2.ru , где асимптоты графика функции - student2.ru — некоторая постоянная.

Перепишем свойство 4 в виде асимптоты графика функции - student2.ru и покажем, что асимптоты графика функции - student2.ru является первообразной функцией для функции асимптоты графика функции - student2.ru . Действительно,

асимптоты графика функции - student2.ru .

5. асимптоты графика функции - student2.ru , где асимптоты графика функции - student2.ru — первообразная функции асимптоты графика функции - student2.ru .

Пусть асимптоты графика функции - student2.ru . Тогда

асимптоты графика функции - student2.ru .

Следовательно, асимптоты графика функции - student2.ru является первообразной подынтегральной функции асимптоты графика функции - student2.ru .

21.Таблица интегралов.

Поскольку неопределенный интеграл — это совокупность первообразных асимптоты графика функции - student2.ru для подынтегральной функции, то для нахождения неопределенного интеграла асимптоты графика функции - student2.ru , требуется отыскать функцию асимптоты графика функции - student2.ru , удовлетворяющую соотношению асимптоты графика функции - student2.ru . Непосредственной проверкой этого соотношения можно убедиться в справедливости следующих формул.



1. асимптоты графика функции - student2.ru .

2. асимптоты графика функции - student2.ru .

3. асимптоты графика функции - student2.ru ( асимптоты графика функции - student2.ru ).

4. асимптоты графика функции - student2.ru ( асимптоты графика функции - student2.ru ).

5. асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru .

6. асимптоты графика функции - student2.ru .

7. асимптоты графика функции - student2.ru .

8. асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru .

9. асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru .

10. асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru .

11. асимптоты графика функции - student2.ru .

12. асимптоты графика функции - student2.ru , ( асимптоты графика функции - student2.ru , если в подкоренном выражении выбран знак –).

13. асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru

15. асимптоты графика функции - student2.ru ( асимптоты графика функции - student2.ru ).

16. асимптоты графика функции - student2.ru , ( асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru , если выбран знак –).

17. асимптоты графика функции - student2.ru , ( асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru ).

18. асимптоты графика функции - student2.ru .

19. асимптоты графика функции - student2.ru .

20. асимптоты графика функции - student2.ru .




22.Методы интегрирования:замена переменной.

Замена переменной в неопределенном интеграле

Теорема. Пусть функция асимптоты графика функции - student2.ru определена и непрерывна на множестве асимптоты графика функции - student2.ru и пусть асимптоты графика функции - student2.ru — множество всех значений этой функции. Пусть далее для функции асимптоты графика функции - student2.ru существует на множестве асимптоты графика функции - student2.ru первообразная функция асимптоты графика функции - student2.ru , то есть

асимптоты графика функции - student2.ru .

Тогда всюду на множестве асимптоты графика функции - student2.ru для функции асимптоты графика функции - student2.ru существует первообразная функция, равная асимптоты графика функции - student2.ru , то есть

асимптоты графика функции - student2.ru .

Доказательство. Поскольку

асимптоты графика функции - student2.ru ,

то функция асимптоты графика функции - student2.ru является первообразной для функции асимптоты графика функции - student2.ru .

Замена переменной является одним из основных методов интегрирования. Предположим, что нам удалось выбрать в качестве новой переменной такую дифференцируемую функцию асимптоты графика функции - student2.ru , что подынтегральная функция асимптоты графика функции - student2.ru может быть представлена в виде асимптоты графика функции - student2.ru , а интеграл асимптоты графика функции - student2.ru легко вычисляется, тогда на основании теоремы о замене переменной в неопределенном интеграле имеем

асимптоты графика функции - student2.ru . (1)

Добавим теперь к таблице основных интегралов несколько часто встречающихся интегралов, которые мы найдем с помощью замены переменной.

17. асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru .

Сделаем замену переменной асимптоты графика функции - student2.ru , тогда асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru и

асимптоты графика функции - student2.ru .

18. асимптоты графика функции - student2.ru ( асимптоты графика функции - student2.ru ).

В этом интеграле также сделаем замену переменной асимптоты графика функции - student2.ru . В результате получим

асимптоты графика функции - student2.ru .

19. асимптоты графика функции - student2.ru , ( асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru , если выбран знак –).

Этот интеграл с помощью замены переменной асимптоты графика функции - student2.ru можно свести к интегралу 12.

асимптоты графика функции - student2.ru

асимптоты графика функции - student2.ru .

Заметим, что поскольку асимптоты графика функции - student2.ru — некоторая положительная постоянная, то асимптоты графика функции - student2.ru — это произвольная постоянная, поэтому в формуле (19) асимптоты графика функции - student2.ru заменили на асимптоты графика функции - student2.ru .

20. асимптоты графика функции - student2.ru , ( асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru ).

Преобразуем подынтегральную функцию к виду

асимптоты графика функции - student2.ru

и рассмотрим интегралы асимптоты графика функции - student2.ru и асимптоты графика функции - student2.ru . В первом интеграле сделаем замену переменной асимптоты графика функции - student2.ru , а во втором асимптоты графика функции - student2.ru . Тогда асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru . В результате замены получим

асимптоты графика функции - student2.ru асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru .

асимптоты графика функции - student2.ru Далее воспользуемся свойствами 3 и 4 неопределенного интеграла

асимптоты графика функции - student2.ru асимптоты графика функции - student2.ru .

асимптоты графика функции - student2.ru асимптоты графика функции - student2.ru 21. асимптоты графика функции - student2.ru .

асимптоты графика функции - student2.ru Преобразуем подынтегральную функцию

асимптоты графика функции - student2.ru асимптоты графика функции - student2.ru

асимптоты графика функции - student2.ru и сделаем замену переменной асимптоты графика функции - student2.ru . Тогда асимптоты графика функции - student2.ru и

асимптоты графика функции - student2.ru асимптоты графика функции - student2.ru .

асимптоты графика функции - student2.ru 22. асимптоты графика функции - student2.ru .

асимптоты графика функции - student2.ru Заметим, что асимптоты графика функции - student2.ru , и сделаем замену переменной асимптоты графика функции - student2.ru . В результате получим

асимптоты графика функции - student2.ru асимптоты графика функции - student2.ru .

асимптоты графика функции - student2.ru 23. асимптоты графика функции - student2.ru .

асимптоты графика функции - student2.ru Этот интеграл вычисляется с помощью замены переменной асимптоты графика функции - student2.ru . При этом асимптоты графика функции - student2.ru и

асимптоты графика функции - student2.ru асимптоты графика функции - student2.ru .

асимптоты графика функции - student2.ru При интегрировании путем замены переменной преобразования (1) нередко записывают в сокращенном виде

асимптоты графика функции - student2.ru асимптоты графика функции - student2.ru . (2)

асимптоты графика функции - student2.ru асимптоты графика функции - student2.ru В этом случае, говорят, что функция асимптоты графика функции - student2.ru подведена под знак дифференциала. При такой форме записи вычисление интеграла 23 приобретает вид

асимптоты графика функции - student2.ru .

Приведем еще несколько примеров.

Пример 1. асимптоты графика функции - student2.ru . В этом интеграле фактически была сделана замена асимптоты графика функции - student2.ru , но часть преобразований

асимптоты графика функции - student2.ru

опущена.

Пример 2. асимптоты графика функции - student2.ru . В данной записи вычисления интеграла мы опять опустили часть преобразований, подведя под знак дифференциала функцию асимптоты графика функции - student2.ru .

Пример 3. асимптоты графика функции - student2.ru . Здесь по знак дифференциала подведена функция асимптоты графика функции - student2.ru .



23.Интегрирование по частям.

Формула интегрирования по частям

Пусть каждая из функций асимптоты графика функции - student2.ru и асимптоты графика функции - student2.ru дифференцируема на множестве асимптоты графика функции - student2.ru и, кроме того, на этом множестве существует первообразная для функции асимптоты графика функции - student2.ru . Тогда на множестве асимптоты графика функции - student2.ru существует первообразная и для функции асимптоты графика функции - student2.ru , причем справедлива формула

асимптоты графика функции - student2.ru . (1)

Доказательство. Воспользуемся формулой производной произведения двух функций

асимптоты графика функции - student2.ru .

Умножим это равенство на асимптоты графика функции - student2.ru и возьмем интеграл от правой и левой части

асимптоты графика функции - student2.ru .

Так как асимптоты графика функции - student2.ru , а интеграл асимптоты графика функции - student2.ru существует , то существует и интеграл асимптоты графика функции - student2.ru , причем

асимптоты графика функции - student2.ru .

Учитывая, что асимптоты графика функции - student2.ru , а асимптоты графика функции - student2.ru , формулу (1) можно записать в виде

асимптоты графика функции - student2.ru . (2)

Пример 1. Найти интеграл асимптоты графика функции - student2.ru .

Применим формулу интегрирования по частям (4), полагая асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru . В результате получим

асимптоты графика функции - student2.ru .

Пример 2. Найти интеграл асимптоты графика функции - student2.ru .

Полагая в формуле интегрирования по частям (2) асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru , получим

асимптоты графика функции - student2.ru .

Для вычисления интеграла асимптоты графика функции - student2.ru еще раз применим формулу (2) ( асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru ). В результате имеем

асимптоты графика функции - student2.ru

= асимптоты графика функции - student2.ru .

Пример 3. Найти интеграл асимптоты графика функции - student2.ru .

Пусть асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru . Тогда по формуле (2)

асимптоты графика функции - student2.ru ,

При вычислении интеграла асимптоты графика функции - student2.ru снова используем формулу интегрирования по частям ( асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru )

асимптоты графика функции - student2.ru .

В результате мы получили линейное алгебраическое уравнение относительно асимптоты графика функции - student2.ru

асимптоты графика функции - student2.ru .

Решая его, находим

асимптоты графика функции - student2.ru .

Пример 4. Найти интеграл асимптоты графика функции - student2.ru .

Пусть асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru . Тогда по формуле интегрирования по частям имеем

асимптоты графика функции - student2.ru .

С помощью интегрирования по частям вычисляются интегралы следующих видов:

1) асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru .

При вычислении этих интегралов следует положить асимптоты графика функции - student2.ru . Поскольку асимптоты графика функции - student2.ru , то в результате интегрирования по частям получатся интегралы вида

асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru .

Применяя формулу интегрирования по частям асимптоты графика функции - student2.ru раз придем к табличным интегралам

асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru .

2) асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru .

Применяя дважды формулу интегрирования по частям асимптоты графика функции - student2.ru , приходим к уравнению первого порядка относительно рассматриваемого интеграла. Решив это уравнение найдем искомый интеграл.

3) Подынтегральная функция содержит множитель: асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru .

В этом случае в формуле интегрирования по частям надо положить функцию асимптоты графика функции - student2.ru , равной одной из указанных функций.



24.Определенный интеграл, его геометрический смысл.

Определение. Функция асимптоты графика функции - student2.ru называется интегрируемой по Риману на отрезке асимптоты графика функции - student2.ru , если существует конечный предел асимптоты графика функции - student2.ru интегральных сумм этой функции при асимптоты графика функции - student2.ru . Указанный предел асимптоты графика функции - student2.ru интегральных сумм называется определенным интегралом функции асимптоты графика функции - student2.ru на отрезке асимптоты графика функции - student2.ru и обозначается асимптоты графика функции - student2.ru .

Итак

асимптоты графика функции - student2.ru .

В записи определенного интеграла асимптоты графика функции - student2.ru называют нижним пределом интегрирования, асимптоты графика функции - student2.ru — верхним пределом интегрирования, асимптоты графика функции - student2.ru — подынтегральной функцией, отрезок асимптоты графика функции - student2.ru — интервалом интегрирования.

Из определения определенного интеграла следует, что для неотрицательных функций определенный интеграл является пределом при асимптоты графика функции - student2.ru последовательности площадей рассмотренных выше ступенчатых фигур. Поэтому он равен площади фигуры, ограниченной графиком функции асимптоты графика функции - student2.ru , отрезком асимптоты графика функции - student2.ru оси асимптоты графика функции - student2.ru и прямыми асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru . Позже мы докажем это утверждение более строго.

Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть функция асимптоты графика функции - student2.ru непрерывна и неотрицательна на отрезке асимптоты графика функции - student2.ru . Криволинейной трапецией называется фигура асимптоты графика функции - student2.ru , ограниченная прямыми асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru , осью асимптоты графика функции - student2.ru и графиком функции асимптоты графика функции - student2.ru (рис. 3)

асимптоты графика функции - student2.ru

Рис. 3

Заметим, что нижняя сумма Дарбу асимптоты графика функции - student2.ru представляет собой площадь ступенчатой фигуры, вписанной в криволинейную трапецию, а верхняя сумма Дарбу асимптоты графика функции - student2.ru — площадь ступенчатой фигуры, описанной вокруг криволинейной трапеции. Очевидно, что

асимптоты графика функции - student2.ru ,

где асимптоты графика функции - student2.ru — площадь криволинейной трапеции. Так как непрерывная на отрезке асимптоты графика функции - student2.ru функция интегрируема на этом отрезке, то

асимптоты графика функции - student2.ru .

Следовательно,

асимптоты графика функции - student2.ru .

Итак, определенный интеграл асимптоты графика функции - student2.ru от непрерывной неотрицательной функции равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru , осью асимптоты графика функции - student2.ru и графиком функции асимптоты графика функции - student2.ru



25.Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция асимптоты графика функции - student2.ru непрерывна на отрезке асимптоты графика функции - student2.ru , тогда любая ее первообразная может быть представлена в виде

асимптоты графика функции - student2.ru . (3)

Положим в формуле (3) сначала асимптоты графика функции - student2.ru , а затем асимптоты графика функции - student2.ru . В результате имеем два равенства

асимптоты графика функции - student2.ru , асимптоты графика функции - student2.ru .

Вычитая из второго равенства первое и заменяя асимптоты графика функции - student2.ru на асимптоты графика функции - student2.ru , получим основную формулу интегрального исчисления

асимптоты графика функции - student2.ru . (4)

Эту формулу называют также формулой Ньютона-Лейбница.

Разность асимптоты графика функции - student2.ru обозначают символом асимптоты графика функции - student2.ru , формулу (4) записывают в виде асимптоты графика функции - student2.ru .

Из формулы Ньютона-Лейбница следует, что для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную подынтегральной функции и из значения этой первообразной для верхнего предела интегрирования вычесть значение для нижнего предела.

Пример. асимптоты графика функции - student2.ru .

Наши рекомендации