Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х)

а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х), если хотя бы один из односторонних пределов: Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru обращается в бесконечность. Поэтому для отыскания вертикальных асимптот графика функции надо найти точки бесконечного разрыва данной функции, которые относятся к точкам разрыва 2-го рода.

ПРИМЕР 34.Найти вертикальные асимптоты графика функции Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru

РЕШЕНИЕ:Как отмечалось, данная функция не определена в точке Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru . При этом

Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru

Поэтому прямая х = 1является вертикальной асимптотой графика заданной функции.

б) График функции у(х) имеет наклонную асимптоту у = kx + b при Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru , если существуют конечные пределы: Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru Если хотя бы один из этих пределов не существует или бесконечен, то график функции не имеет наклонной асимптоты при Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru .(Если асимптота задана уравне­нием у = b, то ее называют горизонтальной).

ПРИМЕР 35. Найти наклонные асимптоты графика функции Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru

РЕШЕНИЕ: Найдем значения к и b для данной функции при Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru

Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru

Аналогично находим, что при Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru по-прежнему Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru . Таким образом, график функции Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru имеет одну и ту же наклонную асимптоту при Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru ; это прямая у = х.

Общий план исследования функции

Чтобы составить достаточно полное представление о характере поведения функции и построить ее график, удобно проводить ее исследование по следующему плану:

1. Установить множество определения функции; при наличии точек разрыва найти в них односторонние пределы данной функции;

2.а) Найти точки пересечения графика функции с осями координат,

б) Отметить особенности графика заданной функции, не связанные с производными, например, симметрию, периодичность.

3. Установить промежутки возрастания и убывания функции, найти ее экстремумы.

4. Установить промежутки выпуклости и вогнутости график функции, найти точки перегиба.

5 Найти асимптоты графика функции.

ПРИМЕР 36.Исследовать функцию Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru и сделать схематический чертеж ее графика.

РЕШЕНИЕ:Как отмечалось в примере 32, множество определения данной функции - вся числовая ось Ох, исключая точку Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru График функции пересекается с осями Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru координат в единственной точке 0(0,0). Функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru и Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru ,поэтому график функции не обладает свойствами симметрии. Дальнейшее исследование этой функции фактически уже проведено в примерах 32 -35. По данным, полученным в этих примерах, сделан схематический чертеж графика заданной функции, который представлен на рис.13.

ПРИМЕР 37.Исследовать функцию Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru и сделать схематический чертеж ее графика.

РЕШЕНИЕ:1. Множество определения данной функции - вся числовая ось Ох, кроме точки Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru . Найдем односторонние пределы функции при Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru . Предел слева Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru так как Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru и Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru . При вычислении предела справа возникает неопределенность вида Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru ; приводим ее к неопределенности вида Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru , к которой применяем правило Лопиталя:

Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru

Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru

2. а) Точки пересечения графика функции с осью Ох определяются из условия у = 0. В данном случае уравнение Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru не имеет решений, так как х = 0 не входит в множество определения функции. Точки пересечения графика функции с осью Оу можно найти, положив х = 0. Для заданной функции это значение не входит в множество ее определения. Следовательно, график исследуемой функции не имеет точек пересечения с осями координат.

б) Поскольку Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru , то функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Находим

Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru

Производная у' существует и конечна на всем множестве определения заданной функции Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru . Поскольку точка разрыва первой производной х = 0 не принадлежит множеству определения функции, то все критические точки функции Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru находим из условия: Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru , или Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru . Отсюда получаем Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru .

Функция Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru возрастает, если Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru , то есть при Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru и Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru .

Функция Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru убывает, если Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru , в данном случае при Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru Таким образом, при переходе через точку Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru первая производная меняет знак с (-) на (+), то есть Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru - точка минимума; Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru

4. Находим Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru

Вторая производная существует и конечна во всех точках множества определения данной функции. Тогда все точки перегиба находим из условия: у" = 0, то есть Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru . Поскольку это уравнение не имеет решения, то точек перегиба нет. График функции - выпуклый, если у" < 0; в данном случае при х < 0. График функции вогнутый при x>0; > 0, где у" > 0.

5. Как было установлено в пункте 1, в точке х = 0 функция Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru имеет бесконечный разрыв, поэтому прямая х = 0 является вертикальной асимптотой ее графика. Для определения наклонных асимптот найдем:

Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru

Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru

Значит, прямая у = x+1является наклонной асимптотой графика функции при Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru . Схематический чертеж графика функции приведен на рис.14.

ПРИМЕР 38. Исследовать функцию Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru и сделать схематический чертеж графика.

РЕШЕНИЕ:1). Данная функция определена на всей числовой

Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru оси Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru

2). Точки пересечения графика функции с осью Ох определяются из условия Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru , откуда Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru , а с осью Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru - из условия Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru , при этом Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru . Данная функция - четная, поскольку Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru , значит, ее график симметричен относительно оси Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru .

3). Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru . Первая производная обращается в бесконечность в точках х = 1, х = -1, в то время, как сама функция Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru в этих точках определена. Значит, эти точки - критические для данной функции. Еще одна критическая точка определяется из условия у' = 0; это х = 0. Функция убывает, если у' < 0, то есть при Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru и Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru . Функция возрастает при у' > 0, то есть при -1 < х < 0 и при х > 1. Таким образом, х = 0 -точка максимума, Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru и Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru - точки минимума данной функции; Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru ; Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru В точках х = -1 их = 1 данная функция имеет так называемый "острый" экстремум: касательная к графику функции в каждой из этих точек параллельна оси Оу.

4). Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru . Вторая производная обращается в бесконечность при х = ±1, но эти точки не принадлежат множеству определения у'(х)и, следовательно, не являются критическими точками для первой производной. Значит, критические точки для нее определяем из условия у" = 0, откуда Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru при Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru то график у(х)в этих интервалах вогнутый, а в интервалах Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru - график выпуклый, так как там у" < 0.

Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru

Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru 5). Поскольку функция определена на всей числовой оси Ox, то вертикальных асимптот у ее графика нет. Проверим наличие наклонных асимптот:

Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru

Таким образом, наклонные асимптоты также отсутствуют. На рис.15 схематически изображен график функции Асимптоты графика функции. а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х) - student2.ru .

Наши рекомендации