Контрольной работы по теме

«Ряды Фурье»

Задача 1. Разложить в ряд Фурье функцию контрольной работы по теме - student2.ru , имеющую период контрольной работы по теме - student2.ru .

Решение. Построим график функции

контрольной работы по теме - student2.ru

Эта функция f(x) имеет период контрольной работы по теме - student2.ru , одну точку разрыва первого рода x=0 на отрезке контрольной работы по теме - student2.ru , отрезок контрольной работы по теме - student2.ru можно разбить на два отрезка так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна.

По формуле (2) найдем коэффициент контрольной работы по теме - student2.ru этого ряда.

контрольной работы по теме - student2.ru .

Найдем контрольной работы по теме - student2.ru по формуле (3)

контрольной работы по теме - student2.ru

По формуле (4) контрольной работы по теме - student2.ru найдем аналогичным образом

контрольной работы по теме - student2.ru

контрольной работы по теме - student2.ru .

Подставляя коэффициенты в формулу (1), получаем контрольной работы по теме - student2.ru или контрольной работы по теме - student2.ru .

Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений изнутри отрезка, то есть в точке x=0.

контрольной работы по теме - student2.ru = контрольной работы по теме - student2.ru , а на концах отрезка в точках контрольной работы по теме - student2.ru и контрольной работы по теме - student2.ru контрольной работы по теме - student2.ru = контрольной работы по теме - student2.ru контрольной работы по теме - student2.ru .

Ответ. контрольной работы по теме - student2.ru

Построим график S4(x)

контрольной работы по теме - student2.ru

Задача 2. Разложить в ряд Фурье функцию контрольной работы по теме - student2.ru , заданную на отрезке контрольной работы по теме - student2.ru сначала по синусам, затем по косинусам.

Решение.Построим график

контрольной работы по теме - student2.ru

1. Продолжая эту функцию на промежуток контрольной работы по теме - student2.ru нечетным образом, получим функцию, ряд Фурье для которой составлен в §2, пример 2.

контрольной работы по теме - student2.ru

Ряд для такого разложения контрольной работы по теме - student2.ru

Построим S5(x)

контрольной работы по теме - student2.ru

2. Продолжая эту функцию на промежуток контрольной работы по теме - student2.ru четным образом. Построим график

контрольной работы по теме - student2.ru

Эта функция f(x) имеет период контрольной работы по теме - student2.ru , четная, продолжена непрерывно.

контрольной работы по теме - student2.ru . Найдем контрольной работы по теме - student2.ru контрольной работы по теме - student2.ru контрольной работы по теме - student2.ru = контрольной работы по теме - student2.ru

Это равенство справедливо во всех точках числовой прямой.

Построим график S4(x)

контрольной работы по теме - student2.ru

Задача3.Разложить в ряд Фурье периодическую функцию контрольной работы по теме - student2.ru , с периодом Т=6.

Решение. Построим эскиз графика функции контрольной работы по теме - student2.ru

Проверив выполнение условий Дирихле для функции, переходим к вычислению коэффициентов Фурье. Заданная функция общего вида с периодом Т=6, l=3, поэтому в разложении ее ряд Фурье имеет вид: контрольной работы по теме - student2.ru .

контрольной работы по теме - student2.ru

Подставляя коэффициенты в формулу ряда, получаем контрольной работы по теме - student2.ru или контрольной работы по теме - student2.ru . Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек -3 и 3. В каждой из этих точек сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений справа и слева, то есть контрольной работы по теме - student2.ru .

Построим график S5 (x)

контрольной работы по теме - student2.ru

Можно совместить оба графика на одном чертеже

контрольной работы по теме - student2.ru

Отметим близость этих графиков.

Задача4. Разложить в ряд Фурье функцию контрольной работы по теме - student2.ru . Построить график S5(x).

Решение. Будем считать функцию периодической с периодом T=3-1=2, l=1 т.е. контрольной работы по теме - student2.ru , T=2, l=1. Построим эскиз графика этой функции

контрольной работы по теме - student2.ru

Ряд Фурье для этой функции будет иметь следующий вид: контрольной работы по теме - student2.ru .

Проверив выполнение условий Дирихле для функции, переходим к вычислению коэффициентов Фурье. контрольной работы по теме - student2.ru .

контрольной работы по теме - student2.ru контрольной работы по теме - student2.ru

контрольной работы по теме - student2.ru контрольной работы по теме - student2.ru Подставляя коэффициенты в формулу ряда, получаем контрольной работы по теме - student2.ru или контрольной работы по теме - student2.ru Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек 1 и 3. В каждой из этих точек сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений справа и слева, то есть контрольной работы по теме - student2.ru .

Построим график S5 (x)

контрольной работы по теме - student2.ru

Задача 5. Разложить в комплексный ряд Фурье периодическую функцию с периодом контрольной работы по теме - student2.ru , определенную следующим образом: контрольной работы по теме - student2.ru . Построить амплитудно-частотный спектр.

Решение. Будем считать функцию периодической с периодом Т =2. Построим график.

контрольной работы по теме - student2.ru

Проверив выполнение условий Дирихле для функции контрольной работы по теме - student2.ru , переходим к вычислению коэффи­циентов Фурье по формуле контрольной работы по теме - student2.ru .

Интеграл, стоящий в правой части последнего равенства, опре­деляется по частям:

контрольной работы по теме - student2.ru контрольной работы по теме - student2.ru ; контрольной работы по теме - student2.ru

Если контрольной работы по теме - student2.ru , то полученные формулы не дают результата. Поэтому коэффициент контрольной работы по теме - student2.ru надо вычислить иначе׃ контрольной работы по теме - student2.ru , так как интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку равен нулю. Окончательно получим контрольной работы по теме - student2.ru

Это равенство имеет место лишь в точках непрерывности функции контрольной работы по теме - student2.ru . В точках разрыва контрольной работы по теме - student2.ru , где k- любое нечетное число, сумма ряда равна нулю. Построим амплитудно-частотный спектр

контрольной работы по теме - student2.ru

Задача 6. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 2] (получить первые 4 гармоники разложения).

контрольной работы по теме - student2.ru

Решение. По условию функция – четная, задана на отрезке [0; 2] = [0; l], следовательно, ее график на промежутке [–2; 0] симметричен заданному графику относительно оси ординат и период функции T = 2l =4 (длина промежутка [–2; 2]).

Ряд Фурье для четной периодической функции контрольной работы по теме - student2.ru с периодом 2l имеет вид:

контрольной работы по теме - student2.ru , (1)

где контрольной работы по теме - student2.ru , контрольной работы по теме - student2.ru . (2)

Поскольку вид функции контрольной работы по теме - student2.ru ) неизвестен, для вычисления интегралов используем одну из квадратурных формул – формулу средних прямоугольников:

контрольной работы по теме - student2.ru ,

где контрольной работы по теме - student2.ru – середина k-го отрезка разбиения промежутка интегрирования [a; b], k = 1, 2, …, m, h – длина шага разбиения промежутка интегрирования: контрольной работы по теме - student2.ru .

Возьмем m = 10, контрольной работы по теме - student2.ru , т.е. разобъем отрезок [0; 2] на 10 равных частей точками контрольной работы по теме - student2.ru и считаем с графика значения функции в серединах полученных отрезков. Чтобы вычислить коэффициенты a0, a1, a2, a4 для первых 4 гармоник разложения функции в ряд Фурье по формулам (2), построим таблицу значений функции f(x) и контрольной работы по теме - student2.ru в полученных точках:

k xk-1/2 f(xk-1/2) контрольной работы по теме - student2.ru контрольной работы по теме - student2.ru контрольной работы по теме - student2.ru
0,1 0,9 0,89 0,86 0,80
0,3 0,25 0,22 0,15 0,04
0,5 – 0,25 – 0,18 0,18
0,7 – 0,4 – 0,18 0,24 0,40
0,9 – 0,2 – 0,03 0,19 0,09
1,1 0,2 – 0,03 – 0,19 0,09
1,3 0,6 – 0,27 – 0,35 0,59
1,5 0,85 – 0,60 0,60
1,7 0,9 – 0,80 0,53 – 0,14
1,9 – 0,99 0,95 – 0,89
контрольной работы по теме - student2.ru 3,85 – 1,97 2,38 1,76

Вычислим коэффициенты ряда a0, a1, a2, a4.

контрольной работы по теме - student2.ru ;

контрольной работы по теме - student2.ru

контрольной работы по теме - student2.ru

контрольной работы по теме - student2.ru

Подставляем найденные коэффициенты в формулу (1) и получаем аппроксимацию функции частичной суммой ряда s3(x):

контрольной работы по теме - student2.ru

Для сравнения с функцией f(x) построим на промежутке [0; 2] график заданной функции f(x) и график полученной аппроксимации контрольной работы по теме - student2.ru :

контрольной работы по теме - student2.ru

Если в аппроксимацию sn(x) включить сумму большего числа гармоник, например, 5, то графики s5(x) и функции f(x) практически совпадают:

контрольной работы по теме - student2.ru

Ответ: контрольной работы по теме - student2.ru , контрольной работы по теме - student2.ru .

Варианты контрольной работы по теме «Ряды Фурье»

Задача 1.

Построить эскиз графика, разложить в ряд Фурье следующие функции, периодические с периодом контрольной работы по теме - student2.ru , определить сумму в точках разрыва. Построить график частичной суммы Фурье для n=4.

Функция Функция
контрольной работы по теме - student2.ru контрольной работы по теме - student2.ru
контрольной работы по теме - student2.ru контрольной работы по теме - student2.ru
контрольной работы по теме - student2.ru контрольной работы по теме - student2.ru
контрольной работы по теме - student2.ru контрольной работы по теме - student2.ru
контрольной работы по теме - student2.ru контрольной работы по теме - student2.ru

Задача 2. Разложить в ряд Фурье функцию контрольной работы по теме - student2.ru , заданную формулой на отрезке контрольной работы по теме - student2.ru , сначала по синусам, затем по косинусам. Построить график контрольной работы по теме - student2.ru и частичных сумм для n=4.

Функция Функция
f(x)=2x-1 f(x)=x-4
f(x)=x2-1 f(x)=x2+2
f(x)=-x-1 f(x)=-x-3
f(x)=x2+1 f(x)=x2-3
f(x)=3x-2 f(x)=0.5x-1

Задача3.Разложить в ряд Фурье периодическую функцию контрольной работы по теме - student2.ru , с периодом Т=2l. Построить график частичной суммы при n=5.

Функция T Функция T
f(x)=x+4 f(x)=2x+1
f(x)=-x+4 f(x)=2x-1
f(x)=2x+4 f(x)=3x+4
f(x)=x+1 f(x)=3x-2
f(x)=-x+2 f(x)=-3x-1

Задача4Разложить в ряд Фурье функцию контрольной работы по теме - student2.ru . Построить график частичной суммы S4(x).

Функция Функция
контрольной работы по теме - student2.ru контрольной работы по теме - student2.ru
контрольной работы по теме - student2.ru контрольной работы по теме - student2.ru
контрольной работы по теме - student2.ru контрольной работы по теме - student2.ru
контрольной работы по теме - student2.ru контрольной работы по теме - student2.ru
контрольной работы по теме - student2.ru контрольной работы по теме - student2.ru

Задача 5. Разложить в комплексный ряд Фурье периодическую функцию с периодом контрольной работы по теме - student2.ru , определенную следующим образом: контрольной работы по теме - student2.ru , контрольной работы по теме - student2.ru . Построить амплитудно-частотный спектр.

Функция Функция
контрольной работы по теме - student2.ru контрольной работы по теме - student2.ru
контрольной работы по теме - student2.ru контрольной работы по теме - student2.ru
контрольной работы по теме - student2.ru контрольной работы по теме - student2.ru
контрольной работы по теме - student2.ru контрольной работы по теме - student2.ru
контрольной работы по теме - student2.ru контрольной работы по теме - student2.ru

Задача 6. Разложить в ряд Фурье функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; l] (получить первые гармоники разложения).

Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; π] (получить первые 4 гармоники разложения).

контрольной работы по теме - student2.ru

1. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 1] (получить первые 4 гармоники разложения).

контрольной работы по теме - student2.ru

2. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 2] (получить первые 4 гармоники разложения).

контрольной работы по теме - student2.ru

3. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 2,5] (получить первые 4 гармоники разложения).

контрольной работы по теме - student2.ru

4. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 3] (получить первые 4 гармоники разложения).

контрольной работы по теме - student2.ru

5. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; π] (получить первые 4 гармоники разложения).

контрольной работы по теме - student2.ru

6. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 4] (получить первые 4 гармоники разложения).

контрольной работы по теме - student2.ru

7. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 5] (получить первые 4 гармоники разложения).

контрольной работы по теме - student2.ru

8. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; π] (получить первые 4 гармоники разложения).

контрольной работы по теме - student2.ru

9. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 1] (получить первые 4 гармоники разложения).

контрольной работы по теме - student2.ru

Рекомендуемая литература

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.

2. Щипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Щипачев.– М.: Высш. шк., 1998.– 479 с.

3.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Уч. пособие.- 22-изд., перераб.- СПб., Изд-во «Профессия», 2005.-432с.

4. Щипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Щипачев.– М.: Высш. шк., 2001.– 304 с.

Наши рекомендации