Задача Коши с уравнением струны (одномерный случай). Формула Даламбера
Уравнения малых колебаний.
Струна – упругая нить, не сопротивляющаяся изгибу, но оказывающая сопротивление растяжению.
Колебания каждой точки струны с абсциссой x описываются тремя компонентами вектора смещения , будем рассматривать только такие колебания, в которых смещения струны лежат в одной плоскости (x,t), а вектор смещения перпендикулярен в любой момент времени к оси x (поперечные колебания). Ограничимся рассмотрением только малых колебаний, т.е. таких где можно пренебречь . С точностью второго порядка по длина фиксированного участка струны не меняется во време6ни, т.е. этот участок не растягивается. Отсюда в силу закона Гука следует, что величина натяжения Т не меняется со временем, следовательно, Т может быть функцией только х:
В силу предположения о малости колебаний следует, что величина натяжения Т, возникающего в струне не зависит от времени.
Запишем второй закон Ньютона:
- скорость в направлении оси х, смещением вдоль оси х пренебрегаем. | |
, | -посторонние силы |
Закон Ньютона запишется виде: - закон колебания струны
У нас малые колебания: и
Окончательно получаем: дифференциальное уравнение малых поперечных колебаний струны:
,
где - линейная плотность струны, - плотность внешних сил.
В случае, когда и уравнение запишется в виде:
это одномерное волновое уравнение, где ; .
Рассмотрим стержень расположенный вдоль оси х.
Введём следующие обозначения:
- площадь сечения стержня плоскостью, перпендикулярной оси х, проведённой через данную точку х, и - модуль Юнга и плотность в сечении с абсциссой х, - величина отклонения вдоль стержня сечения с абсциссой х в момент времени t. Продольные колебания полностью описываются функцией . Малыми мы будем называть такие продольные колебания, в которых натяжения, возникающие в процессе колебания, подчиняются закону Гука.
Дифференциальное уравнение малых продольных колебаний:
В случае, когда уравнение запишется в виде:
это одномерное волновое уравнение, где ; .
Задача Коши с уравнением струны (одномерный случай). Формула Даламбера.
Рассмотрим следующую задачу: Начальные условия существуют, граничные нет - характеристики волнового уравнения с наклоном а. Легко получить общий вид решения этого уравнения: сделаем замену: | |||||||
Преобразованное уравнение будет иметь вид : | |||||||
Функции С1 и С2 произвольные. Каждая из функций F и G являются решениями u. | |||||||
- общий вид решения уравнения. Найдём среди всех возможных решений u найдём такое, которое удовлетворяет начальным условиям | |||||||
- волна бежит вправо с а. - волна бежит вправо с а. общее решение уравнения есть сумма двух произвольных волн, распространяющихся в разные стороны со скоростью а. две половины уравнения струны. | Волна, бегущая вправо со скоростью а | ||||||
Н.У.: интегрируем второе и получаем уравнения для определения F и G. | ФОРМУЛА ДАЛАМБЕРА | ||||||
Полученный результат можно истолковать следующим образом: любое решение уравнения представляется в виде суперпозиции (наложения) прямой и обратной волн. - описывает прямую бегущую волну. - описывает обратную бегущую волну. | |||||||