Интегрирование дробно-рациональных функций

Литература: [3], гл. VII, §§ 6-8; гл. X, §§ 7-9

[5], Ч.2, гл. 9, § 9.5

Многочленом n-й степени относительно переменной x называется функция вида , где .

Корнем многочлена называется такое значение x, при котором многочлен обращается в нуль, т.е. которое является корнем уравнения . Например, корень многочлена есть , т.к. .

Число х₀ называется k-кратным корнем многочлена , если этот многочлен можно представить в виде , где .

Теорема. Любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен единственным образом в виде произведения линейных и квадратичных множителей (с отрицательным дискриминантом) с действительными коэффициентами:

где ─ действительный корень многочлена кратности k_i , для дискриминант .

Дробно-рациональной функцией или просто рациональной дробью называется функция, равная отношению многочленов:

где .

Если , то рациональная дробь называется правильной, если , то дробь называется неправильной. Например,

─ правильная рациональная дробь ( );

─ неправильная дробь ( );

─ неправильная дробь ( ).

Неправильную рациональную дробь всегда можно представить в виде суммы целой части (многочлена) и правильной рациональной дроби.

Например, .

_ x³-2x²-5x-1 │x²+x-5 x³+ x²-5x │x-3 _-3x²-0x-1 -3x²-3x+15 3x-16

Более общим методом выделения целой части является деление многочлен на многочлен в столбик.

Например,

Таким образом, .

Поскольку интегрирование целой части (многочлена) не представляет труда, остаётся рассмотреть метод интегрирования правильных рациональных дробей.

Простейшими дробями называются рациональные дроби следующих четырёх типов:

I. , где .

II. , где .

III. , где , А и В не равны нулю одновременно.

IV. , где , А и В не равны нулю одновременно,

Интегрирование дробей типа І и ІІ особого труда не составляет:

;

Интегрирование дроби типа III рассмотрено в п. 2.5. Подобным образом можно проинтегрировать дробь типа IV.

Теорема. Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена единственным образом в виде суммы некоторого количества простейших рациональных дробей типов I − IV, а именно: в разложении дроби каждому множителю вида знаменателя соответствует сумма k простейших дробей I − II типов:

а каждому множителю вида , где , соответствует сумма s простейших дробей III − IV типов:

Например, согласно этой теореме приведённую ниже дробь можно следующим образом разложить на сумму простейших дробей:

Коэффициенты A, B, C, D, M₁, N₁, M₂, N₂ следует подбирать так, чтобы сумма всех дробей, стоящих справа, была равна данной дроби.

Правило. Чтобы разложить правильную дробь на сумму простейших, необходимо:

1) знаменатель Q_m(x) дроби разложить на линейные и квадратичные (с отрицательным дискриминантом) множители;

2) составить формулу разложения данной дроби на сумму простейших дробей с неопределёнными коэффициентами;

3) привести эту сумму к наименьшему общему знаменателю (он равен знаменателю данной дроби) и приравнять числители;

4) полученное равенство использовать для составления системы уравнений относительно неопределённых коэффициентов, количество уравнений системы должно быть равно числу неопределённых коэффициентов;

5) решить составленную систему уравнений и подставить найденные коэффициенты в формулу разложения.

Для составления системы уравнений относительно неопределённых коэффициентов можно использовать следующие утверждения:

1) два многочлена равны тогда, и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях x;

2) два многочлена равны тогда, и только тогда, когда их числовые значения равны при любом значении x (в том числе при значениях x, равных корням знаменателя).

Пример. Найти интеграл .

Решение. Подынтегральная функция представляет собой неправильную рациональную дробь, т.к. степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе, равны (m=n=3). Поэтому, прежде всего надо выделить целую часть дроби.

Итак, .

Полученную правильную рациональную дробь разложим на сумму простейших дробей. Для этого разложим на простейшие множители знаменатель . Тогда разложение дроби имеет вид

Коэффициенты A, B, C надо подобрать так, чтобы числитель последней дроби был равен числителю данной дроби (их знаменатели равны):

Составим систему уравнений (три уравнения с тремя неизвестными A, B, C), подставляя в равенство числителей корни знаменателя:

Итак, .