Интегрирование рациональных функций (181-190, г)
Отношение двух многочленов называется рациональной функцией. Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то рациональная функция называется правильной, в противном случае – неправильной. Простейшими рациональными функциями называются функции вида
,
где 
– действительные числа; 
– натуральное число и 
.
Алгоритм интегрирования рациональной функции:
1. Если рациональная функция неправильная, то с помощью деления ее нужно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной функции.
2. Знаменатель правильной рациональной функции нужно разложить на линейные и квадратичные множители.
3. Используя метод неопределенных коэффициентов, разложить правильную рациональную функцию на сумму простейших.
4. Проинтегрировать все полученные слагаемые.
Пример.Вычислить 
.
Подынтегральная функция правильная, и ее знаменатель разложен на множители, поэтому переходим к третьему пункту алгоритма. Разложение на сумму простейших для этой функции будет иметь вид
,
где 
– некоторые числа (неопределенные коэффициенты), которые нужно найти. Дроби в правой части приводим к общему знаменателю (он равен 
) и приравниваем числители.
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 
в левой и правой части, получим систему уравнений.
Таким образом,
.
1912200.Если 
– непрерывная функция на 
и 
– первообразная для , то определенный интеграл 
можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница
.
Пример.
.
При вычислении определенного интеграла можно использовать формулу интегрирования по частям:
.
(функции 
и 
должны быть непрерывны на ).
Пример.
.
В определенном интеграле можно сделать замену переменной 
, тогда
,
где числа 
и 
такие, что 
, 
(функция должна быть непрерывна на , функция 
– непрерывна на 
).
201 − 210.
Геометрические приложения определенного интеграла .
Пусть функция 
непрерывна и неотрицательна на . Тогда площадь 
криволинейной трапеции 
(рис.5), ограниченной графиком функции , осью 
и прямыми 
вычисляется по формуле
.
|
тела, образованного вращением криволинейной трапеции 
. Рис. 5
Длина дуги 
, заданной графиком функции , вычисляется по формуле
.
Если функция 
задана параметрически уравнениями 
, 
, где 
, то
, 
,
.
Пусть в полярной системе координат задана функция 
, где 
– полярный угол, 
– полярный радиус точки.
| |||
 | |||
непрерывна на 
, то площадь криволинейного сектора 
, ограниченного графиком функции 
, 
(рис. 6), вычисляется по формуле: 
. Рис. 6
Длина дуги вычисляется по формуле 
.
Пример.Вычислить длину одной арки циклоиды 
, 
, 
.
Решение. Нарисуем арку циклоиды (рис. 7). Заметим, что если 
меняется от 0 до 
, то возрастает от 0 до 
, а 
сначала возрастает от 0 до 
, а затем убывает до 0.
 | |||||||
 | |||||||
 | |||||||
 |
Рис. 7
.
211 − 220.Несобственные интегралы – это обобщение понятия определенного интеграла для случая, когда либо неограниченным является промежуток интегрирования, либо неограничена подынтегральная функция на отрезке интегрирования. Рассмотрим эти два случая.
1. Пусть функция 
непрерывна на 
, тогда 
называется несобственным интегралом от функции на промежутке и обозначается 
, т.е.
,
при этом, если существует конечный предел, говорят, что несобственный интеграл сходится, в противном случае – расходится.
Аналогично
,
, ( 1 )
при этом несобственный интеграл в левой части формулы (1) называется сходящимся, если оба несобственных интеграла в правой части формулы (1) сходятся (число а в формуле (1) можно выбрать произвольно).
2. Пусть функция непрерывна на 
и 
, тогда 
называется несобственным интегралом и обозначается 
, т.е.
,
при этом, если существует конечный предел, то несобственный интеграл называется сходящимся.
Возможны другие случаи, например,
.
Следовательно, несобственный интеграл 
расходится.