Предел и непрерывность функции
Определение 4.5. Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки 
или в некоторых точках этой окрестности. Функция стремится к пределу в 
при 
, стремящемся к 
, если для каждого положительного числа 
, как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число 
, что для всех , отличных от и удовлетворяющих неравенству 
имеет место неравенство 
. Если есть предел функции 
при 
, то пишут: 
.
Определение 4.6. Функция называется непрерывной при значении 
( или в точке 
), если она определена в некоторой окрестности точки и если
Определение 4.7. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала 
, где 
, то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.
Свойства пределов.
Теорема 1:Предел алгебраической суммы двух, трёх и вообще определённого числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных:
Пример №3 
Теорема 2: Предел произведения двух, трёх или вообще определённого числа переменных равен произведению пределов этих переменных
Пример №4 
.
Теорема 3: Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля: 
.
Пример №5 
Пример №6Найти 
Здесь знаменатель и числитель при 
стремится к нулю, и, следовательно, теорема 3 неприменима. Произведём следующее тождественное преобразование:
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
Задания: Вычислить указанные пределы:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
;
9) 
.
Производная и дифференциал функции одной переменной.
Определение 4.8.Производной функции в точке называется предел отношения приращения 
функции в этой точке к приращению 
аргумента, когда последнее стремится к нулю: 
.
Функция , имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.
Для производной функции употребляются следующие обозначения: 
, 
, 
или 
, 
, 
. Нахождение производной называется дифференцированием.
Пример №7 Дана функция 
, найти её производную 
:
a) В произвольной точке 
b) при 
Решение:
a) При значении аргумента, равном , имеем . При значении аргумента, равном 
, имеем: 
.
Находим приращение функции: 
. Составляем отношение 
. Переходя к пределу, найдём производную от данной функции: 
.
Итак, производная от функции в произвольной точке равна 
.
b) При 
получим: 
.
Основные правила дифференцирования. Производные степени и корня.
-
( 1 ) -
( 2 ) -
( 3 ) -
( 4 )
Частные случаи формулы (4): 
; 
При вычислении производных необходимо помнить, что 
; 
; 
, и знать следующие правила действий со степенями и корнями:
; 
; 
; 
, здесь 
и 
- любые рациональные числа.
