Физическое приложение скалярного произведения
| Рис. 8.3 |
| B |
| C |
| φ |
 |
| s |
| Fs |
постоянной силы 
на прямолинейном перемещении из точки 
в точку 
называется скалярное произведение вектора силы на вектор 
перемещения (рис. 8.3): 
.
Впрочем, физики предпочитают модуль вектора обозначать не «вектором в вертикальных черточках», а той же буквой без стрелки: 
.
Примеры решения задач
8.2.1.Даны длины векторов 
, 
и угол 
. Найти:
1)  , | 2)  , | 3)  , | 4)  , если  ,  . |
◄ Используя выражение (8.7) длины вектора и (8.8) угла между векторами через скалярное произведение и свойства скалярного произведения, имеем
1) 
2) 
3) 
;
4) 
; 
. ►
8.2.2.Дан вектор 
. 1) Найти его длину; 2) нормировать вектор; 3) указать направляющие косинусы вектора.
◄ 1) Длина вектора 
: 
.
2) Нормируем вектор: 
– орт вектора .
3) Согласно (8.11) направляющие косинусы вектора :
, 
, и 
(рис. 8.2). ►
8.2.3.Даны векторы 
и 
в базисе 
. Найти:
1) скалярное произведение 
; 2) угол между векторами 
; 3) проекции 
и 
.
◄ 1) 
;
2) 
, 
;
, 
рад;
3) 
, 
. ►
8.2.4.В треугольнике 
, где 
, 
, 
, найти длины сторон, угол 
, длину медианы 
(рис. 8.4).
| A |
| B |
| C |
| M |
| Рис. 8.4 |
, 
и 
по формуле (7.1), то есть, вычитая из координат концов векторов координаты их начал: 
, 
и 
. 2) Длины сторон находим как длины соответствующих векторов по формуле (8.7): 
, 
и 
.
3) Так как 
, то угол 
– прямой.
4) Так как 
– середина 
, то 
и 
. Тогда 
.
8.2.5.Даны координаты точек на плоскости: 
, 
, 
, 
. Убедиться в том, что четырехугольник ABCD является квадратом.
| A |
| B |
| C |
| D |
| O |
| x |
| y |
| Рис. 8.5 |
1. Используя формулу (7.1), то есть, вычитая из координат концов векторов координаты их начал, найдем координаты векторов 
, 
и 
.
2. 
. Значит, ABCD – параллелограмм.
3. Скалярное произведение векторов и 
найдем по формуле (8.6), в которой надо опустить третье слагаемое: 
. Следовательно, 
. Таким образом, параллелограмм ABCD является прямоугольником.
4. Длины векторов найдем по формуле (8.7), где следует опустить третье слагаемое: 
, 
. Следовательно, прямоугольник ABCD является квадратом. ►
8.2.6.Найти значения параметра λ, при которых векторы 
и 
ортогональны.
◄ Вычислим скалярное произведение 
и потребуем выполнения условия ортогональности векторов (8.9):
При 
векторы 
и 
ортогональны, причем это единственное значение λ, при котором 
. ►
8.2.7.Найти координаты вектора в базисе 
, если 
, 
, 
, 
.
◄ Из (8.12), учитывая условие , находим
.
По формулам (8.11) находим координаты вектора
, 
, 
, 
. ►