Свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведение не зависит от порядка сомножителей (переместительное свойство):

Свойства скалярного произведения - student2.ru .

2. Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения:

Свойства скалярного произведения - student2.ru .

3. Скалярное произведение двух векторов подчиняется распределительному закону:

Свойства скалярного произведения - student2.ru .

4. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы Свойства скалярного произведения - student2.ru и Свойства скалярного произведения - student2.ru перпендикулярны или один из них равен нулю.

5. Свойства скалярного произведения - student2.ru , т.е. Свойства скалярного произведения - student2.ru - скалярный квадрат.

Таким образом Свойства скалярного произведения - student2.ru

Скалярное произведение в координатной форме.

Пусть Свойства скалярного произведения - student2.ru и Свойства скалярного произведения - student2.ru .

Тогда

Свойства скалярного произведения - student2.ru (2)

Скалярное произведение двух векторов равно сумме парных произведений одноименных координат.

Пример. Свойства скалярного произведения - student2.ru .

Модуль вектора. Расстояние между двумя точками.

По свойству (5): Свойства скалярного произведения - student2.ru , но Свойства скалярного произведения - student2.ru и

Свойства скалярного произведения - student2.ru (3)

Свойства скалярного произведения - student2.ru Расстояние между двумя точками А и В равно Свойства скалярного произведения - student2.ru

Свойства скалярного произведения - student2.ru

Угол между двумя векторами. Условие перпендикулярности двух векторов.

Из определения скалярного произведения следует: Свойства скалярного произведения - student2.ru Свойства скалярного произведения - student2.ru . По формулам (2) и (3) имеем:

Свойства скалярного произведения - student2.ru

Условие перпендикулярности двух векторов Свойства скалярного произведения - student2.ru в координатной форме имеет вид:

Свойства скалярного произведения - student2.ru

Векторное произведение двух векторов.

Скалярное произведение двух векторов Свойства скалярного произведения - student2.ru - число, а

Векторное произведение Свойства скалярного произведения - student2.ru или Свойства скалярного произведения - student2.ru - вектор.

Векторным произведением двух векторов Свойства скалярного произведения - student2.ru и Свойства скалярного произведения - student2.ru , взятых в определенном порядке, называется третий вектор Свойства скалярного произведения - student2.ru , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах Свойства скалярного произведения - student2.ru и Свойства скалярного произведения - student2.ru ; направлен вектор Свойства скалярного произведения - student2.ru перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы Свойства скалярного произведения - student2.ru и Свойства скалярного произведения - student2.ru , причем в ту сторону, откуда кратчайший поворот от Свойства скалярного произведения - student2.ru к Свойства скалярного произведения - student2.ru виден против часовой стрелки.

Обозначается: Свойства скалярного произведения - student2.ru или Свойства скалярного произведения - student2.ru .

Свойства скалярного произведения - student2.ru Модуль векторного произведения:

Свойства скалярного произведения - student2.ru

Механический смысл векторного произведения.

Свойства скалярного произведения - student2.ru .Поэтому Свойства скалярного произведения - student2.ru , Свойства скалярного произведения - student2.ru .

Момент силы, приложенной к точке А есть векторное произведение радиус-вектора Свойства скалярного произведения - student2.ru точки приложения силы и силы Свойства скалярного произведения - student2.ru . Направлен вектор Свойства скалярного произведения - student2.ru вдоль оси вращения.

Свойства векторного произведения.

1. Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы Свойства скалярного произведения - student2.ru и Свойства скалярного произведения - student2.ru коллинеарны.

Свойства скалярного произведения - student2.ru

2. При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный:

Свойства скалярного произведения - student2.ru (видно из чертежа)

3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения.

Свойства скалярного произведения - student2.ru

a) площади параллелограммов слева и справа равны.

b) Направление векторов Свойства скалярного произведения - student2.ru и Свойства скалярного произведения - student2.ru совпадают.

4. Имеет место распределительный закон:

Свойства скалярного произведения - student2.ru (без доказательства)

5. Свойства скалярного произведения - student2.ru , т.к. ц=0.

Векторное произведение в координатной форме.

Свойства скалярного произведения - student2.ru Пусть Свойства скалярного произведения - student2.ru и Свойства скалярного произведения - student2.ru

Свойства скалярного произведения - student2.ru

Этот определитель – символический, т.к. первая строка состоит не из чисел, а из векторов.

Свойства скалярного произведения - student2.ru Пример. Даны три точки: А (2, -1, 0); В (3, 1, 2) и С (-1, 0, 1). Найти площадь ДАВС.

1. Найти длины Свойства скалярного произведения - student2.ru , Свойства скалярного произведения - student2.ru и Свойства скалярного произведения - student2.ru и воспользоваться формулой Герона.

2. Свойства скалярного произведения - student2.ru .

Свойства скалярного произведения - student2.ru

Наши рекомендации