Свойства определенного интеграла
1. Будем считать, что .
2. ( ).
Интеграл мы определили как предел интегральной суммы , когда мелкость разбиения стремится к нулю. При этом мы разбили отрезок точками такими, что
,
и обозначили через разность .
Если отрезок пробегается в направлении от к , то, следуя формальному определению интегральной суммы, мы должны положить
.
Тогда все станут отрицательными, и все слагаемые в интегральной сумме изменят знак на противоположный.
3. Пусть функции и интегрируемы на отрезке . Тогда функции , также интегрируемы на этом отрезке, причем
. (1)
Докажем интегрируемость функций , и справедливость формулы (1). Действительно,
.
4. Если функция интегрируема на отрезке , то функция , также интегрируема на этом отрезке, причем
.
Действительно,
.
5. Если функция интегрируема на отрезке , то она интегрируема на любом отрезке , содержащемся в .
6. Если функция интегрируема на отрезках и , то она интегрируема на отрезке . Причем
.
Следующие свойства связаны с оценками интегралов.
7. Если интегрируемая на отрезке функция неотрицательна на этом отрезке, то .
Рассмотрим интегральную сумму . Так как , и , то и .
8. Если функция интегрируема на отрезке и всюду на этом отрезке, то .
Заметим, что , и по свойству 7 . Отсюда .
9. Если функции и интегрируемы на отрезке и всюду на этом отрезке, то .
Так как всюду на отрезке и функция интегрируема на этом отрезке, то по свойству 7 имеем . Отсюда следует свойство 10.
10. Если функция интегрируема на отрезках , то функция также интегрируема на этом отрезке, причем
. (2)
Действительно, поскольку для функции справедливо неравенство
,
то согласно свойству 9 имеем
,
откуда следует неравенство (2).
11. Пусть функция интегрируема на отрезке . Тогда, если и — наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке , то
. (4)
Поскольку для любого из отрезка справедливы неравенства , то
. (5)
Ранее мы установили, что . Подставляя значение интеграла в (5) получим (4).
12. Теорема о среднем. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда найдется такая точка , принадлежащая отрезку , что
. (6)
Заметим, что непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке. Воспользуемся свойством 12. Разделим неравенства (4) на . В результате получим
.
Обозначая через число , получим неравенства .
Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений и принимает все промежуточные значения от до . Следовательно, найдется такая точка , принадлежащая отрезку , что . Тогда имеем . Отсюда следует формула (6).