Частные случаи общего уравнения плоскости

Лемма 1 (о параллельности вектора и плоскости). Пусть в аффинной системе координат Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru дана плоскость Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru и вектор Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru . Для того, чтобы вектор Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru был параллелен плоскости Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

□ Чтобы доказать необходимость и достаточность этого условия, возьмем точку Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru и отложим от нее вектор Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru (рис. 68).

Пусть Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru , тогда Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru Из равенства векторов Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru и Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru следует равенство их соответственных координат:

Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru . (24)

Так как Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru , то

Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru . (25)

Если Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru , то Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru , следовательно,

Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru . (26)

Вычитаем почленно из уравнения (26) уравнение (25):

Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

Применяя формулы (24), получаем:

Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

Обратно, пусть имеет место условие Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru . Тогда из формул (24) следует, что Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

Сложив почленно последнее уравнение с уравнением (25), получим:

Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru ,

откуда следует, что Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru . Поэтому Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru , а так как Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru , то Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru . ■

Выясним особенности расположения плоскости Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru относительно аффинной системы координат, если некоторые из коэффициентов в ее общем уравнении равны 0.

1. Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru - верное равенство Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

Обратно, пусть Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru , тогда Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru - верное равенство Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

Итак, Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

2. Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

Возьмем вектор Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru . Проверим выполнимость условия Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru :

Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru ;

0=0.

Следовательно, по лемме о параллельности вектора и плоскости Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru . Поэтому возможны два случая Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru или Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru . Учитывая, что Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru , т.е. Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru , получаем: Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

Обратно, пусть Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru , тогда Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru . По лемме о параллельности вектора и плоскости Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

Итак, Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

Рассуждая аналогично, рассмотрите самостоятельно случаи 3 и 4 :

3. Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

4. Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

5. Пусть Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru и Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru . Тогда из пункта 2 следует, что Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru , т.е. Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru или Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru ; а из пункта 1 следует, что Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru . Значит, Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

Обратно, пусть Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru . Тогда Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru , т.е. Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru (см. пункт 1). Кроме того, Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru (см. пункт 2).

Итак, Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru и Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

В этом случае уравнение плоскости Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru примет вид Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

Рассуждая аналогично, рассмотрите самостоятельно случаи 6 и 7:

6. Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru и Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

7. Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru и Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

8. Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru и Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru . Тогда из пункта 2 следует, что Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru ; а из пункта 3 следует, что Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru . Таким образом,

Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru и Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

В этом случае уравнение Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru примет вид Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru или Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru (где Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru ).

Рассуждая аналогично, рассмотрите случаи 9 и 10:

9. Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru и Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

10. Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru и Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

Из пунктов 8 и 1 получаем случай

11. Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru , Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru и Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

В этом случае уравнение плоскости будет иметь вид Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru , т.е.

Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

Из пунктов 9 и 1 получаем случай

12. Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru , Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru и Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

Тогда уравнение Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru будет иметь вид Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru , т.е.

Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

Из пунктов 10 и 1 получаем случай

13. Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru , Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru и Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

Уравнение Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru в этом случае имеет вид Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru , т.е.

Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru .

Задания для самостоятельной работы

1. Какие из векторов Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru параллельны плоскости Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru и почему?

2. Справедливы ли утверждения, доказанные в пунктах 1-13, если уравнение плоскости задано в прямоугольной декартовой системе координат и почему?

3. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru и параллельной плоскости: а) Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru ; б) Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru ; в) Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru (пользуясь частными случаями общего уравнения плоскости).

4. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru и содержит: а) ось Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru ; б) ось Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru ; в) ось Частные случаи общего уравнения плоскости - student2.ru (пользуясь частными случаями общего уравнения плоскости).

Основные аффинные задачи,

Наши рекомендации