Формулы дифференцирования

1. (u^a(x))' = a u^a-1(x)u'(x), в частности,

(1/u(x))' = -u'(x)/u²(x), ( )' = u'(x)/2 ;

2. (log_au(x))' = (u'(x)log_ae)/u(x) при 0<a≠1, u(x)>0, в частности, (ln u(x))' = u'(x)/u(x);

3. (a^u(x))' = a^u(x)ln a u'(x) при 0<a≠1, в частности, (e^u(x))' = u'(x)e^u(x);

4. (sin u(x))' = cos u(x)u'(x);

5. (cos u(x))' = -sin u(x)u'(x);

6. (tg u(x))' = u'(x)/cos²u(x) x≠ p/2+p n, n=0,+-1,...;

7. (ctg u(x))' = -u'(x)/sin²u(x) x≠ p n, n=0,+-1,...;

8. (arcsin u(x))' = u'(x)/ , -1<u(x)<1;

9. (arccos u(x))' = -u'(x)/ , -1<u(x)<1;

10. (arctg u(x))' = u'(x)/(1+u²(x));

11. (arcctg u(x))' = -u'(x)/(1+u²(x)).

Введем гиперболические функции:

sh x = (1/2)(e^x-e^-x)- гиперболический синус;

ch x = (1/2)(e^x+e^x)- гиперболический косинус;

th x = sh x/ch x -гиперболический тангенс;

cth x = ch x/sh x - гиперболический котангенс.

Из определения гиперболических функций элементарно вытекают следующие формулы для нахождения их производных.

1. (sh x)' = ch x;

2. (ch x)' = sh x;

3. (th x)' = 1/ch² x;

4. (cth x)' = -1/sh² x.

Пример1. Найти y', если

1. y(x) = x³arcsin x.

2. y(x) = ln sin (x²+1).

y' = (2xcos(x²+1))/sin(x²+1) = 2x ctg(x²+1)

Замечание. Производная любой элементарной функции является элементарной функцией, то есть операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций.

Производные высших порядков

Предположим, что функция f'(x) является дифференцируемой в некоторой точке x интервала (a,b), то есть имеет в этой точке производную. Тогда данную производную называют второй производной и обозначают f⁽²⁾(x), f''(x) или y⁽²⁾, y''(x). Аналогично можно ввести понятие второй , третьей и т. д. производных. По индукции можно ввести понятие n- ой производной:

y(n) = (y(n-1))'.

(3)

Функцию, имеющую на некотором множестве конечную производную порядка n, называют n раз дифференцируемой на этом множестве. Методика нахождения производных высших порядков предполагает умение находить производные первого порядка, о чем говорит формула (3).

Если u(x), v(x) две дифференцируемые функции, то для нахождения производной их произведения справедлива формула Лейбница

(u(x)v(x))⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾v+nu^(n-1)v'+(n(n-1)/2)u^(n-2)v''+...+ uv⁽ⁿ⁾ =

= S_{k = 0}ⁿC_n^ku^(n-k)v^(k),

где

C_n^k = (n(n-1)(n-2)...(n-k+1))/k!, u⁽⁰⁾ = u, v⁽⁰⁾ = v.

Данная формула Лейбница особенно эффективна в случае, когда одна из перемножаемых функций имеет конечное число отличных от нуля производных и легко вычислить производные другой функции.

Пример 9. Пусть y = e^x(x²-1). Найти y⁽¹⁰⁾. Положим u(x) = e^x,
v(x) = (x²-1). Согласно формуле Лейбница

y⁽¹⁰⁾ = (e^x)⁽²⁵⁾(x²-1)+10(e^x)⁽⁹⁾(x²-1)'+(10· 9/2) (e^x)⁽⁸⁾(x²-1)'',

так как следующие слагаемые равны нулю. Поэтому

y⁽¹⁰⁾ = e^x(x²-1)+10e^x2x+(10· 9/2)e^x (2) = e^x(x²+20x+89)

Правило Лопиталя

Будем говорить, что отношение функций f(x)/g(x) представляет собой неопределенность вида 0/0 при x→ a, если

lim_{x→ a}f(x) = lim_{x→ a}g(x) = 0.

Раскрыть неопределенность - это значит вычислить предел
lim_{x→ a}f(x)/g(x), если он существует. Аналогично можно ввести понятие неопределенности при x→ a-0 (x→a+0), x→±∞.

Следующая теорема дает правило раскрытия неопределенности вида 0/0.

Теорема 1 (правило Лопиталя).Пусть множество (a) - проколотая δ - окрестность точки a, функции f(x),g(x) определены и дифференцируемы на , g'(x)≠ 0,

lim_{x→ a}f(x) = lim_{x→ a}g(x) = 0.

Тогда если существует lim_{x→ a}f'(x)/g'(x), то существует и предел lim_{x→ a}f(x)/g(x), причем справедливо соотношение

lim_{x→ a}f(x)/g(x) = lim_{x→ a}f'(x)/g'(x).

Данная теорема без изменений переносится на случай неопределенности вида ∞/∞

Замечание. Сформулированная теорема представляет собой лишь достаточное условие. То есть предел отношения функций может существовать и в случае, когда предел отношения производных не существует.

Например, пусть f(x) = x+sin x, g(x) = x-sin x, x_→ ∞. Попробуем применить правило Лопиталя

lim_x→∞ (x+sin x)/(x-sin x) = ∞/∞= =lim_x→ ∞ (x+sin x)'/(x-sin x)' = lim_x→ ∞ (1+cos x)/(1-cos x),

но предел последнего выражения не существует, однако, если поделить числитель и знаменатель на x, то легко получим конечное значения предела:

lim_x→ ∞ (x+sin x)/(x-sin x) = lim_x→∞ (1+sin x/x)/(1-sin x/x) = 1

Замечание. Если производные f'(x),g'(x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции, то правило Лопиталя можно применить повторно, т.е. предел отношения первых производных можно заменить пределом отношения вторых производных и т.д.

Кроме рассмотренных выше видов неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞ часто встречаются неопределенности видов: 0· ∞, ∞-∞, 1^∞, 0^∞, ∞⁰. Все эти неопределенности сводятся к двум вида 0/0 и ∞/∞ путем алгебраических преобразований. Продемонстрируем это на примере неопределенностей вида 1∞, 0∞, ∞⁰. Каждая из этих неопределенностей имеет вид

y = f(x)g(x),

(4)

где lim_{x→ a}f(x) = 1;0; ∞, lim_{x→ a}g(x) = ∞;0, Прологарифмировав выражение (4), получим (при f(x)>0 )

ln y = g(x)ln f(x).

Последнее выражение представляет собой при x_→ a неопределенность вида 0· ∞. Покажем, как свести неопределенность вида 0· ∞ к неопределенности вида 0/0 или ∞/∞

Пусть y = f(x)g(x), где lim_{x→ a}f(x) = 0, а lim_{x→ a}g(x) = Ґ. Но y можно записать иначе, а именно y = f(x)/(1/g(x)), а данное выражение представляет собой при x_→ a неопределенность вида 0/0.

Проиллюстрируем на примерах применение правила Лопиталя.

Пример 1. Применяя правило Лопиталя, вычислить пределы:

1. lim_x→0(e^ax-e^-2ax)/ln (1+x) = 0/0= lim_{x→ 0}(ae^ax+2ae^-2ax)/(1/(1+x)) = 3a.

2. lim_x→∞(e^1/x2-1)/(2arctg x²-p) = 0/0= lim_x→ ∞(-2x^-3e^1/x2)/(4x/(1+x⁴)) = lim_x→ ∞-e^1/x2(1+x⁴)/2x⁴ = -1/2.

3. lim_{x→ 1}(1/ln x-1/(x-1)) = ∞-∞ = lim_{x→ 1} (x-1-ln x)/((x-1)ln x) = lim_{x→ 1}(1-1/x)/(ln x+1-1/x) = lim_{x→ 1}(x-1)/(xln x+x-1) = lim_{x→ 1}1/(ln x+2) = 1/2.

4. lim_{x→ +0}(1/x)^{sin x}. Пусть y = (1/x)^{sin x}, тогда ln y = sin xln (1/x),

lim_x→+0ln y = lim lim_{x→ +0}sin xln (1/x). lim_{x→ +0}ln y = lim_{x→ +0}(-ln x)/(1/sin x) = lim_{x→ +0}(-1/x)/(-cos x/sin²x) = lim_{x→ +0} sin²x/(xcos x) = 0.

Следовательно, lim_{x→ 0} y = e⁰ = 1.

Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.

Рассмотрим функцию y = f(x), дифференцируемую в данной точке x. Приращение ∆y ее представимо в виде

∆ y = f'(x)∆ x +ά(∆x) ∆x,

где первое слагаемое линейно относительно ∆x, а второе является в точке ∆x = 0 бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем ∆x. Если f'(x)≠ 0, то первое слагаемое представляет собой главную часть приращения ∆y. Эта главная часть приращения является линейной функцией аргумента ∆x и называется дифференциалом функции y = f(x). Если f'(x) = 0, то дифференциал функции по определению считается равным нулю.

Определение 1 (дифференциал).Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно ∆x часть приращения ∆y, равная произведению производной на приращение независимой переменной

dy = f'(x)∆x.

Заметим, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx = ∆ x. Поэтому формулу для дифференциала принято записывать в следующем виде:

dy = f'(x)dx.

(5)

Геометрический смысл

Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M(x,y) (рис21.). Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке M, которая образует угол f с положительным направлением оси OX, то есть f'(x) = tg f. Из прямоугольного треугольника MKN

KN = MNtgf = ∆ xtg f = f'(x) ∆ x,

то есть dy = KN.

Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда x получает приращение ∆ x.