Исследование общего уравнения плоскости. Угол между плоскостями. Уравнение прямой в пространстве.
Лекция № 7
Уравнение поверхности. Общее уравнение плоскости.
Исследование общего уравнения плоскости. Угол между плоскостями. Уравнение прямой в пространстве.
Будем рассматривать поверхность, как геометрическое место точек. Уравнение 
, которому удовлетворяют координаты точек поверхности, называется уравнением этой поверхности. Уравнения поверхности составляются на основании определения или свойств, присущих этой поверхности.
Пример: Составить уравнение поверхности, все точки которой, равноудалены от одной точки 
. В декартовых координатах это уравнение имеет вид: 
(1)
где 
– расстояние от точки О до произвольной точки поверхности.
Уравнение (1) называется уравнением сферы.
Уравнение плоскости
z
Пусть дана плоскость 
и на ней
некоторая фиксированная точка
М 
. Проведем вектор 
,
перпендикулярный данной плоскости.
Вектор 
называется нормальным
вектором плоскости или вектором нормали.
Пусть 
- произвольная точка, лежащая на плоскости .
Составим вектор 
, при любом расположении точки он перпендикулярен вектору . Иначе говоря, точка М, лежащая на плоскости характеризуется условием: 
В этом случае 
. Отсюда имеем:
(2)
Это есть искомое уравнение плоскости , так как ему удовлетворяют координаты точки М.
Раскрывая скобки в уравнении (2) получим:
или 
(3)
Уравнение (3) называется общим уравнением плоскости.
В уравнении плоскости переменные х, у, z входят в первой степени. Следовательно, в декартовых координатах каждое уравнение первой степени определяет плоскость.
Пример: Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку 
перпендикулярно вектору 
.
Решение: Согласно уравнению (2) искомое уравнение имеет вид:
или 
.
Уравнение плоскости «в отрезках»
Пусть дано уравнение плоскости:
Перепишем это уравнение: 
Разделим обе части на 
, получим:
или 
Обозначая: 
получим:
(4)
Уравнение (4) называется уравнением плоскости «в отрезках». Числа 
- это величины отрезков, которые отсекает данная плоскость на координатных осях.
Пример: Составить уравнение плоскости, зная, что она отсекает на осях координат отрезки, равные 
.
Решение: На основании (4) получим:
или 
.
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
Составим уравнение плоскости, проходящей через три данные точки 
и 
.
Пусть точка 
- произвольная точка искомой плоскости. Образуем векторы 
, 
и 
. Так как эти векторы лежат в одной плоскости, значит они компланарны. Используя условие компланарности векторов, получим:
или
(5)
Это есть уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки 
.
Решение. Используя формулу (5) уравнения плоскости, проходящей через три точки
Получим
, 
или 
.
Окончательно будем иметь
.
Лекция № 7
Уравнение поверхности. Общее уравнение плоскости.
Исследование общего уравнения плоскости. Угол между плоскостями. Уравнение прямой в пространстве.
Будем рассматривать поверхность, как геометрическое место точек. Уравнение , которому удовлетворяют координаты точек поверхности, называется уравнением этой поверхности. Уравнения поверхности составляются на основании определения или свойств, присущих этой поверхности.
Пример: Составить уравнение поверхности, все точки которой, равноудалены от одной точки . В декартовых координатах это уравнение имеет вид: (1)
где – расстояние от точки О до произвольной точки поверхности.
Уравнение (1) называется уравнением сферы.
Уравнение плоскости
z
Пусть дана плоскость и на ней
некоторая фиксированная точка
М . Проведем вектор ,
перпендикулярный данной плоскости.
Вектор называется нормальным
вектором плоскости или вектором нормали.
Пусть - произвольная точка, лежащая на плоскости .
Составим вектор , при любом расположении точки он перпендикулярен вектору . Иначе говоря, точка М, лежащая на плоскости характеризуется условием:
В этом случае . Отсюда имеем:
(2)
Это есть искомое уравнение плоскости , так как ему удовлетворяют координаты точки М.
Раскрывая скобки в уравнении (2) получим:
или (3)
Уравнение (3) называется общим уравнением плоскости.
В уравнении плоскости переменные х, у, z входят в первой степени. Следовательно, в декартовых координатах каждое уравнение первой степени определяет плоскость.
Пример: Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно вектору .
Решение: Согласно уравнению (2) искомое уравнение имеет вид:
или .