Задания для самостоятельной работы. «Камская государственная инженерно-экономическая академия»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«Камская государственная инженерно-экономическая академия»

Основы расчётов в системе MATHCAD

Методические указания к лабораторным работам

по дисциплине «Компьютерные Технологии»

г. Набережные Челны

УДК

Основы расчётов в системе MATHCAD: Методические указания к лабораторным работам – Набережные Челны: ИНЭКА, 2007, с.

Состтавители: ассистент Башмаков Д.А., ст. преподаватель Исрафилов Д.И.

Методические указания рассчитаны на студентов специальностей 15020665 "Машины и технология высокоэффективных процессов обработки", 26060165 «Машины и аппараты пищевых производств». Содержит пояснительную, справочную и расчетную части. Составлены в соответствии с программой курса "Компьютерные Технологии" с целью освоения студентами основ математического моделирования с использованием современных персональных компьютеров и математической системы MathCAD.

Ил.: 9. Библиогр. 7

Рецензент: к.т.н. доцент Сабиров И.С.

Камская государственная инженерно-экономическая академия, 2007

Лабораторная работа №1

«Символьные вычисления в MathCAD»

Цель работы

1. Ознакомиться с основными видами символьных (аналитических) вычислений, производимых в MathCAD.

2. Приобрести практические навыки выполнения символьных расчетов в MathCAD.

Задание

1 Изучить методические указания по выполнению лабораторной работы.

2 Произвести символьные вычисления в соответствии с вариантом задания (табл. 1).

Методические указания

Долгое время математические компьютерные программы (Eureka, Mercury, ранние версии MathCAD и MatLab) развивались как системы для численных расчетов. Однако в начале 90-х годов XX века быстрое развитие получили системы символьной математики (MathCAD, Maple, MatLabи др.). Им стали доступны такие интеллектуальные виды аналитических (символьных) вычислений, как нахождение пределов функций и их производных, вычисление определенных и неопределенных инте­гралов, разложение функций в ряд, подстановки, комбинирование и т.д. Результаты символьных вычис­лений представляются в аналитическом виде, т.е. в виде формул [1].

Для выполнения символьных расчетов в MathCAD используется меню символьных вычислений "Symbolics" или палитра "Символьные вычисления" (рис. 1).

Основным в данной палитре является оператор "Символический знак равенства" (кнопка →). Если при помощи него вместе знака "=" в выражениях использовать символ "→", то MathCAD будет производить аналитические вычисления, вместо численных. К таким операциям относятся, например, нахождение сумм рядов, производных, определенных и неопределенных интегралов, пределов функций (рис. 2).

Замечание. Если система не может выполнить символьное вычисление, то в качестве результата в этом случае выдается исходное выражение!

Рис.1. Меню символьных вычислений и палитра "Символьные вычисления"

Рис. 2 Примеры символьных вычислений

Рассмотрим на примерах ряд операторов палитры "Символьные вычисления" (рис. 1):

• simplify – упростить выражение, например

•expand - разложить по степеням какой-либо переменной, раскрыть выражение, например

(2х² +5) (х + 1)(х³ - 6) expand,х →2х⁶ - 7х³ + 2х⁵ - 12х² + 5x⁴ - 30х- 30

•factor - разложить выражение на множители (операция, обратная expand), например

2x⁶-7x³+2x⁵+5x⁴-30x-30 factor,x →(2x²+5)(x+1)(x³-6)

• coeffs – нахождение полиномиальных коэффициентов. Эта операция аналогична команде expand с той лишь разницей, что она возвращает коэффициенты результирующего полинома в виде вектора.

• substitute – замена переменной в выражении (подстановка).

• series – разложить функцию в ряд Тейлора по указанной переменной, например

y(x):=e^x

y(x) series,x,4 →1+x+

В данном примере второй параметр, равный 4, определяет количество членов ряда, оставляемых при разложении.

• parfrac – разложить выражение на простые дроби, например

• solve – решить уравнение или неравенство относительно указанной переменной. Пусть, например, необходимо решить уравнение 2x² + x -10 = 0. Для этого в MathCAD введем следующую формулу:

Однако многие уравнения подчас не имеют аналитического решения. В таких случаях приходится применять численные методы. В MathCAD для приближенного отыскания корня функции F(x) используется встроенная функция root(F(x), x), перед вызовом которой необходимо задать начальное приближение. На рис. 3 приведен пример нахождения корня функции F(x)= -64 + 25x -8x² + 2x³. В нем сначала определяется функция F(x), затем задается начальное приближение x =1 и находится корень x1.

Рис. 3 Приближенное нахождение корня функции

Интегральные преобразования

MathCAD предоставляет пользователю возможность выполнять следующие виды инте-гральных преобразований:

• fourier и invfourier – прямое и обратное преобразования Фурье;

• laplace и invlaplace – прямое и обратное преобразования Лапласа;

• ztrans и invztrans – прямое и обратное преобразования Z-преобразования. Например, преобразование Лапласа:

Символьные преобразования над матрицами

В палитре "Символьные вычисления" имеются следующие кнопки для выполнения символьных преобразований над матрицами:

– получение транспонированной матрицы;

– получение обратной матрицы;

– вычисление определителя квадратной матрицы.

Задания для самостоятельной работы

В лабораторной работе студент должен выполнить в соответствии с выданным преподавателем вариантом три задания.

1 Найти предел, производную, интеграл или сумму ряда, используя операции символьных вычислений MathCAD.

2 Решить аналитически (при помощи символьной функции solve) уравнение в MathCAD. Построить график заданной функции. Для одного из найденных корней повторить процедуру, но уже численным способом (посредством функции root), выбрав в качестве начального приближения любую точку в окрестности этого корня.

3 Для функции f (t) найти ее изображение, используя прямое преобразование Лапласа, а для функции F(s) найти ее оригинал при помощи обратного преобразования Лапласа.

Таблица 1

№ варианта	Задание 1	Задание 2	Задание 3
			f(t)=sin(2t)cos t
		x3+x2-x-1=0
		cos x–ln x–0.125=0
		x4-x3-5x2+2=0
		-3x5+x4-2x2+x+1=0
		x4-2x3+3x2-x+1=0
		2x3+5x2-0.5x+15=0
		sin x-ln x-0.5=0	f(t)=sin t∙sh t
		=0

Лабораторная работа №2

«Численное решение дифференциальных уравнений и их систем в MathCAD»

Цель работы

1. Научиться решать в MathCAD дифференциальные уравнения численным способом.

2. Ознакомиться со способом численного решения систем дифференциальных уравнений в Math-
CAD.

Задание

1 Изучить методические указания по выполнению лабораторной работы.

2 Решить в MathCAD дифференциальное уравнение и систему дифференциальных уравнений в соответствии с вариантом задания (табл. 2).

Методические указания

Численное решение дифференциального уравнения n-го порядка

a_ny⁽ⁿ⁾+a_n-1y^(n-1)+…+a₁y′+a₀y=f(x)

с начальными условиями

,

…

,

y(x₀) = y₀

на отрезке в MathCAD может быть найдено при помощи функции odesolve (x, x_K, steps). Здесь

x - переменная дифференцирования;

x_K - правая граница отрезка, на котором ищется решение;

steps -необязательный параметр, определяющий число шагов разбиения интервала [x₀, x_K] для нахождения ре­шения дифференциального уравнения.

Ввод дифференциального уравнения и начальных условий производится в блоке, начинающемся с директивы given ("дано").

Рассмотрим пример. Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y ′′ + 2y ′ + 3 y = sinx с начальными условиями y ′(0) = 1 и y(0) = 0 на отрезке .

Решение данного уравнения проиллюстрировано на рис. 4.

Рис. 4 Пример решения дифференциального уравнения

Замечания к решению дифференциального уравнения (рис. 4).

1 Ввод знака равенства в дифференциальном уравнении и в начальных условиях производится при помощи кнопки палитры "Сравнения и отношения".

2 Знак производной ("штрих") вводится кнопкой клавиатуры . При этом, если необходимо ввести четвертую производную, то необходимо ввести четыре "штриха", пятую – пять "штрихов" и т.д.

Численное решение системы из n дифференциальных уравнений первого порядка

с начальными условиями

на отрезке в MathCAD может быть найдено при помощи функции rkfixed (y, x₀, x_K, n, F), которая возвращает полученную методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом таблицу решения системы. При этом начальные условия необходимо задать в виде вектора y, а правые части системы уравнений – в виде вектора F; n – число точек разбиения заданного интервала [x₀,x_K].

Например, пусть дана система дифференциальных уравнений

с начальными условиями

а параметр µ = -0,1. Требуется найти решение данной системы дифференциальных уравнений на интер­вале

Рис. 5 Решение системы дифференциальных уравнений

Решение данной задачи в MathCAD представлено на рис. 5.

Приближенное решение системы, получаемое данным методом, представляется табличной функцией, заданной в 100 точках (n = 0, 1, …, 99). При этом первый столбец матрицы решения Y соответствует x, второй – переменной y₀, а третий – y₁ (рис. 5).

Кроме функций решения дифференциальных уравнений odesolve и rkfixed, в MathCAD существует и ряд других, например, rkadapt и bulstoer.