Возрастание и убывание функций

Теорема

Если функция f(x) дифференцируема и на интервале (a,b), то она не убывает (не возрастает) на этом интервале.

Экстремум функции

Определение

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x),если для любого числа в некоторой окрестности точки выполнено неравенство .

Термины «локальный минимум» и «локальный максимум» объединены общим названием «локальный экстремум».

Теорема

(Необходимое условие существования локального экстремума). Для того чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

Геометрический смысл теоремы заключается в следующем: если в точках локальных экстремумов существуют касательные, то они параллельны оси Ox.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума называют критическими или стационарными (а также точками возможного экстремума). Очевидно, что эти точки должны входить в ОДЗ функции. Таким образом, если в какой–либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая, однако обратное утверждение неверно: критическая точка вовсе не обязана быть точкой экстремума.

Это можно показать на примерах функций . Для первой функции точка является точкой экстремума, а для второй – нет.

Сформулируем достаточные условия существования локального экстремума.

Теорема (Первое достаточное условие экстремума)

Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки . Если при переходе через точку слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то в точке функция имеет локальный максимум, а если с минуса на плюс, то – точка минимума. Если же не меняет знака в окрестности точки , то данная функция не имеет локального экстремума в этой точке.

Геометрический смысл теоремы иллюстрирует Рис. 5.9.1.

Отметим также, что дифференцируемость в самой точке вовсе не обязательна. Например, функция y=|x| имеет экстремум (минимум) в точке x=0, но не дифференцируема в ней.

Рис. 5.9.1

Схема исследования функции y=f(x) на локальный экстремум

1. Найти производную y’=f’(x).

2. Найти критические точки функции, в которых производная f’(x)=0 или не существует.

3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

4. Найти экстремумы функции.

Пример

Исследовать на экстремум функцию .

Решение

Найдем производную и приравняем нулю: .

Нули производной: . Исследуем знаки первой производной.

Так как при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, то точка является точкой минимума. При переходе через точку x=1 производная знак не меняет, поэтому точка x=1 не является точкой экстремума.

Теорема (Второе достаточное условие экстремума)

Если первая производная f’(x) дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке , а вторая производная в этой точке положительна f’’(x)>0, то точка есть точка минимума функции f(x); если вторая производная отрицательна – f’’(x)<0, то – точка максимума.

Второе достаточное условие экстремума утверждает, что если в критической точке , то в этой точке имеется экстремум. Обратное утверждение неверно – экстремум в критической точке может быть и при равенстве нулю в ней второй производной, например, для функции и критической точки =0.

При решении прикладных задач, в частности оптимизационных, важное значение имеют задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений (глобального максимума и глобального минимума) функции на промежутке X.

Ранее отмечалось, что если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Наибольшее или наименьшее значения функции могут достигаться как в точках экстремума, так и на концах отрезка.

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке рекомендуется пользоваться следующей схемой:

1. Найти производную f’(x).

2. Найти критические точки функции, в которых f’(x)=0 или не существует.

3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее.