Матричные степенные ряды и условия их сходимости

Пусть дана квадратная матрица А размера k и степенной ряд

a₀ + a₁x + a₂x² +…+ a_nxⁿ +… Степенным матричным рядом называется ряд, полученный заменой в степенном ряде переменной х на А:

a₀ + a₁А + a₂А² +…+ a_nАⁿ +… = _n=0S^¥ a_nАⁿ.

l - собственное значение матрицы А, если найдется ненулевой собственный вектор х, для которого выполняется равенство Ах = lх

Матричный степенной ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится степенной ряд a₀ + a₁l + a₂l² +…+ a_nlⁿ +… = _n=0S^¥ a_nlⁿ (*) для каждого собственного значения l матрицы А.

Доказательство: Пусть матричный ряд сходится и l - собственное значение матрицы А с собственным вектором х. Пусть В = _n=0S^¥ a_nlⁿ, Вх – вектор. Т. к. для любого натурального n выполняется равенство Аⁿx = lⁿx, то справедливо равенство Вх = _n=0S^¥ a_nlⁿх Þ сходимость ряда (*).

Для доказательства достаточности можно рассмотреть случай, когда собственные векторы матрицы А образуют базис пространства R^k. Для проверки сходимости ряда a₀ + a₁А + a₂А² +…+ a_nАⁿ +… = _n=0S^¥ a_nАⁿ достаточно проверить, что для любого вектора х пространства R^k сходится ряд из векторов a₀х + a₁Ах + a₂А²х +…+ a_nАⁿх +…

Если х – собственный вектор матрицы А, то ряд

a₀х + a₁Ах + a₂А²х +…+ a_nАⁿх +… (**) сходится по условию. В общем случае вектор х представляется в виде линейной комбинации собственных векторов. Поэтому ряд (**) также представляется в виде линейной комбинации рядов такого же типа для собственных векторов, каждый из которых сходится. Следовательно, сходится и ряд (**) Þ теорема доказана.

Дифференциальные уравнения.

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Модели экономической динамики с непрерывным временем.

Модель естественного роста (рост при постоянном темпе).

Пусть у(t) – интенсивность выпуска продукции некоторого предприятия, отрасли. Мы будем предполагать, что имеет место аксиома о ненасышенности потребителя, т.е. что весь выпущенный предприятием товар будет продан, а также то, что объём продаж не является столь высоким чтобы существенно повлиять на цену товара р , которую ввиду этого мы будем считать фиксированной. Чтобы увеличить интенсивность выпуска у(t), необходимо чтобы чистые инвестиции I(t) (т.е. разность между общим объёмом инвестиций и амортизационными затратами) были больше нуля. Вслучае I(t)= 0 общие инвестиции только лишь показывают затраты на амортизацию, и уровень выпуска продукции остаётся неизменным. Случай I<0 приводит к уменьшению основных фондов и уровня выпуска продукции. Таким образом мы видми, что скорость увеличения интенсивности выпуска продукции является возрастающей функцией от I.

Пусть эта зависимоть выражается прямой пропорциональностью, т.е. имеет место так называемый принцип акселерации.

y¢=mI (m=const), где 1/m – норма акселерации. Пусть a - норма чистых инвестиций, т.е. часть дохода ру, которая тратится на чистые инвестиции, тогда I=a py.

Отсюда подставляя выражение для I , получаем y¢=a m ру или y¢=ку, где к=ma р=const. Разделяя переменные в уравнении имеем

Dy/y=kdt. После интегрирования обеих частей находим ln|y|=kt+lnC, или y=Ce^kt.

Если y(t₀)=y₀,то C=y₀e^-kto, т.е. y=y₀e^k(t-to) – это уравнение называется уравнением естественного роста. Этим уравнением описывается также динамика роста цен при постоянном темпе инфляции, процессы радиоактивного распада и размножения бактерий.

Логический рост.

Пусть р=р(у) – убывающая функция (dp/dy <0), т.е. с увеличением выпуска будет происходить насыщение рынка и цена будет падать. Проведя аналогичные рассуждения получим уравнение:

y¢=kp(y)y,( здесь k=la.) уравнение представляет собой автономное дифференциальное уравнение. Так как k>0, p>0, y>0, то у(t) – возрастающая функция (y¢>0). Исследуем у(t) на выпуклость. Дифференцируя уравнение по t, получим

y¢¢=ky¢(dp y +p) или y¢¢=ky¢p(dp _*y +1), т.е. y¢¢=ky¢p(1-1 ) ,

dy dy p |e_y|

где e_y(p)= dy _* p - эластичность спроса.

dp y

Из этого вытекает, что если спрос эластичен, т.е. |e_y|>1, то y¢¢>0, т.е. функция спроса – выпуклая функция. Если спрос неэластичен, т.е. |e_y|<1, то y¢¢<0 и функция спроса – вогнутая функция.

Пусть, например, р(у)=b-ay (a, b>0), тогда уравнение принимает вид:

y¢=k(b-ay)y. Из чего легко получить, что y¢=0, если у=0 или у= b/a, а также, что у¢¢<0 при у= b/2a, и у¢¢>0 при у> b/2a. В данном случае легко получить и явное выражение для y(t). Разделяя переменные в уравнении, находим

dy = kdt, или dy(1+ a )= kdt.

y(b-ay) b у b-ay

Проинтегрировав это соотношение, имеем

Ln|y|-ln|b-ay|= kbt+lnC, т.е. y/(b-ay)=Ce^kbt. Отсюда получим y= Ce^kbt .

1+Cae^kbt

График этой функции называется логистической кривой. Она также описывает некоторые модели распространения информации, динамику эпидемий, процессы размножения бактерий в ограниченной среде обитания и т.п.

Из графика логистической кривой видно, что при малых t логистический рост схож с естественным ростом, однако при больших t характер роста меряется, темпы роста замедляются и кривая асимптоматически приближается к прямой у=b/a. Эта прямая является трационарным решением уравнения y¢=k(b-ay)y и соответственно случаю р(у)=0. Для этого уравнения также существуют решения при у> b/a, имеющие графики. Но так как в этом случае р(у)<0, то эти графики не имеют экономической интерпретации.

Более реалистичной является модель, в которой скорость роста зависит не от дохода, а от прибыли. Пусть С(у)= aу+b - издержки (b,a - константы) тогда

у¢=k(p(y)y-aу-b). Если p(y)=b-aу,то правая часть уравнения представляет собой квадратный многочлен относительно у с отрицательным коэффициентом перед у². В этом случае возможны три варианта.

1) D<0. Следовательно, у¢<0. Издержки настолько велики, что это приводит к постоянному падению производства и в конце концов к банкротству.

2) D=0.В этом случае у¢<0 и меется одна стационарная кривая у=у^*<b/a. При этом интегральные кривые, удовлетворяющие начальному условию у(t₀)=y₀>y^*, будут ассимптотически приближаться к у^* на +µ, а интегральные кривые, удовлетворяющие условию у(t₀)< у^* будут ассимптотически приближаться к у^* на -µ.

3) D>0. В этом случае существует два стационарных решения у=у₁, у=у₂. (0<y₁<y₂). При этом у¢>0 при y₁<у<y₂ и у¢<0 при у<y₁ или у>у₂.

3. Неоклассическая модель роста.

Пусть Y=F(K,L) – национальный доход, где К – обьём капиталовложений (фондов), L – величина затрат труда, F(K,L) – линейно-однородная производственная функция (F(tK,tL)=tF(K,L)). Пусть f(k) – производительность труда:

F(k)= F(K,L)/L=F(K/L,1)=F(k,1), где k=K/L – фондовооружённость. Как известно, f¢(k)>0, f¢¢(k)<0.

Предполагаем, что:

1. происходит естественный прирост трудовых ресурсов, т.е. L¢=aL(a=const);

2. Инвестиции направлены как на увеличение производственных фондов, так и на амортизацию, т.е. L¢=K¢+bK (b - норма амортизации).

Пусть l – норма инвестиций (т.е. I=lY), тогда lY=K¢+bK ÞK¢=lY-bK.

Из определения фондовооружённости вытекает ln k=lnK-lnL.

Дифференцируем эти соотношения по t, получим k¢/k=K¢/K-L¢L. Подставляя значения для L¢ и K¢ , находим k¢=lY-bK - a, т.е. k¢=lYk – (b+a)k = lYK -(b+a)k

k K K kL

Учитывая, что f=Y/L, получим K¢=lf(k)- (b+a)k. – уравнение неоклассического роста.