Степенные ряды. интервал сходимости

Степенным рядом называют ряд вида:

,

где – постоянные числа (коэффициенты ряда).

Интервал сходимости степенного ряда можно находить с помощью признака Даламбера, т.е. находим . Известно, что ряд сходится при , расходится при , а при необходимы дополнительные исследования.

Пример.

Определить интервал сходимости ряда .

Решение.

Выпишем , , тогда:

.

Таким образом, ряд сходится при любых .

Пример.

Определить интервал сходимости ряда .

Решение.

Выпишем -ный и -ый члены ряда:

тогда:

.

Ряд будет сходящимся, если . Отсюда , т.е. исходный ряд сходится на интервале .

Контрольная работа

В задачах 1.1 – 1.35 найти пределы

1.1.	1.2.
а) ;	а) ;
б) ;	б) ;
в) ;	в) ;
г) .	г) .

1.3.	1.4.
а) ;	а) ;
б) ;	б) ;
в) ;	в) ;
г) .	г) .

1.5.	1.6.
а) ;	а) ;
б) ;	б) ;
в) ;	в) ;
г) .	г) .

1.7.	1.8.
а) ;	а) ;
б) ;	б) ;
в) ;	в) ;
г) .	г) .

1.9.	1.10.
а) ;	а) ;
б) ;	б) ;
в) ;	в) ;
г) .	г) .
1.11.	1.12.
а) ;	а) ;
б) ;	б) ;
в) ;	в) ;
г) .	г) .

1.13.	1.14.
а) ;	а) ;
б) ;	б) ;
в) ;	в) ;
г) .	г) .

1.15.	1.16.
а) ;	а) ;
б) ;	б) ;
в) ;	в) ;
г) .	г) .

1.17.	1.18.
а) ;	а) ;
б) ;	б) ;
в) ;	в) ;
г) .	г) .
1.19.	1.20.
а) ;	а) ;
б) ;	б) ;
в) ;	в) ;
г) .	г) .

1.21.	1.22.
а) ;	а) ;
б) ;	б) ;
в) ;	в) ;
г) .	г) .
1.23.	1.24.
а) ;	а) ;
б) ;	б) ;
в) ;	в) ;
г) .	г) .
1.25.	1.26.
а) ;	а) ;
б) ;	б) ;
в) ;	в) ;
г) .	г) .
1.27.	1.28.
а) ;	а) ;
б) ;	б) ;
в) ;	в) ;
г) .	г) .
1.29.	1.30.
а) ;	а) ;
б) ;	б) ;
в) ;	в) ;
г) .	г) .

1.31.	1.32.
а) ;	а) ;
б) ;	б) ;
в) ;	в) ;
г) .	г) .
1.33.	1.34.
а) ;	а) ;
б) ;	б) ;
в) ;	в) ;
г) .	г) .

1.35.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

В задачах 2.1. –2.35 вычислить производную .

2.1.
а) ;	б) ;	в) .
2.2.
а) ;	б) ;	в) .
2.3.
а) ;	б) ;	в) .
2.4.
а) ;	б) ;	в) .
2.5.
а) ;	б) ;	в) .
2.6.
а) ;	б) ;	в) .
2.7.
а) ;	б) ;	в) .
2.8.
а) ;	б) ;	в) .

2.9.
а) ;	б) ;	в) .
2.10.
а) ;	б) ;	в) .
2.11.
а) ;	б) ;	в) .
2.12.
а) ;	б) ;	в) .
2.13.
а) ;	б) ;	в) .
2.14.
а) ;	б) ;	в) .
2.15.
а) ;	б) ;	в) .
2.16.
а) ;	б) ;	в) .
2.17.
а) ;	б) ;	в) .
2.18.
а) ;	б) ;	в) .
2.19.
а) ;	б) ;	в) .

2.20.
а) ;	б) ;	в) .
2.21.
а) ;	б) ;	в) .
2.22.
а) ;	б) ;	в) .
2.23.
а) ;	б) ;	в) .
2.24.
а) ;	б) ;	в) .
2.25.
а) ;	б) ;	в) .
2.26.
а) ;	б) ;	в) .
2.27.
а) ;	б) ;	в) .
2.28.
а) ;	б) ;	в) .
2.29.
а) ;	б) ;	в) .
2.30.
а) ;	б) ;	в) .
2.31.
а) ;	б) ;	в) .
2.32.
а) ;	б) ;	в) .
2.33.
а) ;	б) ;	в) .
2.34.
а) ;	б) ;	в) .
2.35.
а) ;	б) ;	в) .

В задачах 3.1.-3.35. исследовать средствами дифференциального исчисления функцию. Найти асимптоты и построить график.

3.1. ;	3.2. ;	3.3. ;
3.4. ;	3.5. ;	3.6. ;
3.7. ;	3.8. ;	3.9. ;
3.10. ;	3.11. ;	3.12. ;
3.13. ;	3.14. ;	3.15. ;
3.16. ;	3.17. ;	3.18. ;
3.19. ;	3.20. ;	3.21. ;
3.22. ;	3.23. ;	3.24. ;
3.25. ;	3.26. ;	3.27. ;
3.28. ;	3.29. ;	3.30. ;
3.31. ;	3.32. ;	3.33. ;
3.34. ;	3.35. .

В задачах 4.1.- 4.35 вычислить интегралы.

4.1.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.2.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.3.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.4.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.5.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.6.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.7.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.8.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.9.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.10.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.11.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.12.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.13.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.14.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.15.	а) ;	б) ;
в)	г) .

4.16.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.17.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.18.	а) ;	б)
в) ;	г) .

4.19.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
4.20.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.21.	а) ;	б)
в) ;	г) .

4.22.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.23.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.24.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.25.	а) ;	б) ;
в)	г) .

4.26.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.27.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.28.	а) ;	б)
в) ;	г) .

4.29.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.30.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.31.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.32.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.33.	а) ;	б)
в) ;	г) .

4.34.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

4.35.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

В задачах 5.1- 5.35 решить дифференциальные уравнения:

5.1.
а) ;	б) ;	в) .
5.2.
а) ;	б) ;	в) .
5.3.
а) ;	б) ;	в) .
5.4.
а) ;	б) ;	в) .
5.5.
а) ;	б) ;	в) .
5.6.
а) ;	б) ;	в) .
5.7.
а) ;	б) ;	в) .
5.8.
а) ;	б) ;	в) .
5.9.
а) ;	б) ;	в) .
5.10.
а) ;	б) ;	в) .