Аналитическая геометрия на плоскости

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид

Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , где Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Вектор Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором прямой на плоскости.

Уравнение вида Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , где Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru с заданным угловым коэффициентом, имеет вид:

Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Угол между прямыми Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru определяется следующим образом:

Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Задание 2. Даны уравнения двух высот треугольника Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru и Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , и одна из вершин Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Составить уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.

Решение. По условию задачи нам известны: Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , CD: Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru и BE: Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Определим уравнение стороны AB. Высота CD перпендикулярна стороне AB, а потому их угловые коэффициенты Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru и Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru удовлетворяют условию: Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Из уравнения прямой CD следует, что Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Тогда Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru

Напишем уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом:

Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Подставив в это уравнение координаты точки А и угловой коэффициент Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru ,получим уравнение стороны АВ:

Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru

или

Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Аналогично можно получить и уравнение стороны АС. Действительно, в силу перпендикулярности ВЕ и АС имеем: Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Из уравнения высоты ВЕ следует, что Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Тогда Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Следовательно, подставив в уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом, координаты точки А и угловой коэффициент Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , получим уравнение стороны АС:

Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru

или

Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Теперь составим уравнение стороны ВС. Для этого определим координаты вершин В и С треугольника АВС. Координаты точки В можно определить из условия пересечения прямых АВ и ВЕ:

Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Решение полученной системы и есть координаты вершины Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , а именно Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Таким же образом определяем координаты точки С:

Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru

и тогда С Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Уравнение прямой, проходящей через точки В и С, имеет вид :

Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru ,

где B Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , C Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Подставив координаты точек В и С в данное уравнение, получим уравнение стороны ВС:

Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru

или

Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Сделаем теперь чертеж:

Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru

Линии второго порядка

К линиям второго порядка относят окружность, эллипс, гиперболу и параболу.

Каноническое Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru уравнение окружности имеет вид

Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru ,

где r- радиус окружности.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru

где Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru ,

где Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Каноническое уравнение параболы имеет вид

а) Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , где Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru > 0 ( парабола симметрична относительно оси Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru );

б) Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru (парабола симметрична относительно оси Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru ).

Задание 3. Составить уравнение линии, каждая точка которой одинаково удалена от точки Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru и прямой Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Сделать чертеж.

Решение Пусть М (x, y) – любая точка искомой линии, Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru - основание перпендикуляра, опущенного из точки Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru на прямую y Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Тогда точка Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru имеет координаты Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Расстояние от точки М до прямой Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru есть расстояние между точками М и N:

Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Теперь определим расстояние между точками М и Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru :

Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

По условию задачи Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Следовательно, для любой точки Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru справедливо равенство:

Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru

или

Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Окончательно,

Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Полученное уравнение является уравнением параболы с вершиной в точке Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Действительно, сделаем замену

Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Тогда уравнение примет вид:

Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru

(каноническое уравнение параболы ).

Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru

Наши рекомендации