Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости

Системы координат на плоскости. Основные приложения метода координат на плоскости. Преобразование системы координат. [3, §9]. Уравнения прямой линии на плоскости. Основные задачи о прямой линии. [3, §10]. Линии второго порядка на плоскости. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола. Общее уравнение линий второго порядка. [3, §11].

Пример 6. Даны координаты вершин треугольника Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru : Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Найти: 1) длину стороны Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru ; 2) уравнения сторон Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru и Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru в радианах с точностью до Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru ; 4) уравнение высоты Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru и ее длину, не используя координаты точки Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru ; 5) уравнение медианы Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru ; 6) точку пересечения высот треугольника Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Сделать чертеж.

Решение: Сделаем чертеж:

Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru

1. Расстояние между точками Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru и Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru находится по формуле Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

В данном случае Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru и Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru имеет вид Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Следовательно, для прямой Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru имеем Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru – общее уравнение прямой Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Аналогично, для прямой Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru имеем Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru – общее уравнение прямой Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Найдем угловые коэффициенты прямых Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru и Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Для этого перейдем от общего уравнения прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Для прямой Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru имеем Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , то есть Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru – угловой коэффициент прямой Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Для прямой Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru получим Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , значит Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru – угловой коэффициент прямой Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

3. Учитывая, что угол Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru острый, воспользуемся формулой Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Имеем Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , откуда Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru

4. Для нахождения уравнения высоты Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через данную точку Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru с заданным угловым коэффициентом Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru : Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

В данном случае Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru ; Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru (координаты точки Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru ). Так как прямые Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru и Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны соотношением Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , откуда Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Значит, уравнение высоты Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru будет иметь вид: Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru или Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Для нахождения длины высоты Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru воспользуемся формулой расстояния Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru от заданной точки Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru до прямой Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru : Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

В данном случае Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru (координаты точки Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru ); Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru ; Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru ; Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru (коэффициенты из общего уравнения прямой Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru ). Следовательно, Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

5. Уравнение медианы Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru составим, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Так как Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru – медиана, то координаты точки Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru найдем как координаты середины отрезка Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru : Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru ; Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , то есть Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Тогда уравнение медианы Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru будет иметь вид: Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru или Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

6. Для нахождения координат точки Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru пересечения высот треугольника Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru найдем уравнение высоты Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Уравнение высоты Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru находим по формуле Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . По условию Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Так как прямые Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru и Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru перпендикулярны, то Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru ; Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Значит, уравнение высоты Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru будет иметь вид Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru или Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Составляем и решаем систему уравнений: Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Значит, Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Пример 7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru параллельно прямой Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , если Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru равно эксцентриситету эллипса Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Решение: Эксцентриситет эллипса Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru равен Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , где Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

В данном случае эллипс задан уравнением Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru или Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , то есть Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Значит, эксцентриситет эллипса равен Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru и искомая прямая проходит через точку Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Так как эта прямая параллельна прямой Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , то их угловые коэффициенты равны. Так как Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , то угловой коэффициент искомой прямой Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru с заданным угловым коэффициентом Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru , имеет вид: Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru . Значит, искомое уравнение: Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru или Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости - student2.ru .

Наши рекомендации