Числовые характеристики случайных величин
Математическое ожидание дискретной случайной величины X – это сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности .
| . | (27) |
Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b] – это определенный интеграл
| . | (28) |
Математическое ожидание случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) есть неслучайная (постоянная) величина. Она характеризует среднее значение случайной величины.
Свойства математического ожидания:
1. M(C)=C – математическое ожидание константы равно самой константе.
2. .
3. .
4. .
Дисперсия и среднее квадратичное отклонение – это числовые характеристики случайной величины, которые позволяют оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания.
Отклонением называют разность между значением случайной величины и ее математическим ожиданием, т. е. .
Пусть закон распределения дискретной случайной величины известен:
Так как одни возможные отклонения положительны, а другие отрицательны, то математическое ожидание отклонения обладает важным свойством:
,
т.е. математическое ожидание отклонения всегда равно нулю.
Дисперсией (рассеянием) случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Для дискретной случайной величины
| . | (29) |
Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей формулой
| , | (30) |
т.е. дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.
Для непрерывной случайной величины:
| . | (31) |
В последнем выражении все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку (a, b).
Дисперсия случайной величины (как дискретной, так и случайной) есть неслучайная величина (постоянная величина).
Свойства дисперсии:
1. D (C) = 0.
2. D (CX) = С2D (X).
3. D (X+Y) = D (X) + D (Y).
4. D (C+X) = D (X).
5. D (X-Y) = D (X) – D (Y).
Если равномерно распределенная случайная величина задана в интервале [a,b], то ее математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение равны:
| , , . | (32) |
Разбор типовых задач
Задача 1
Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, заданной законом распределения:
| Х | ||||
| P | 0,25 | 0,5 | 0,1 | 0,15 |
Решение.
Вначале полезно проверить условие : 0,25 + 0,5 + 0,1 + 0,15 = 1, условие выполняется.
Дисперсия случайной величины вычисляется по формуле:
, где .
В данном задании
;
.
При нахождении считается, что квадраты значений величины Х принимаются с теми же вероятностями, что и значения Х, т.е. закон распределения случайной вероятности таков:
| X2 | ||||
| P | 0,25 | 0,5 | 0,1 | 0,15 |
D(Х) = 36,5 – 34,81 = 1,69
Среднее квадратичное отклонение находится по формуле
Ответ: ; .
Задача 2
Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:
| Х | ||||
| P | 0,5 | 0,05 | 0,35 | 0,1 |
Решение.
Закон распределения в данном виде полностью дискретную случайную величину Х не описывает, т.к. неизвестна вероятность p2значения х2 = 20.
Но учитывая условие , можно доопределить данный закон, найдя р2 по формуле:
р2 = 1-(р1+р3+р4) = 1-(0,5+0,35+0,1) = 0,05
Найдем математическое ожидание М(Х):
.
Тогда (М(Х))2≈1400.
Закон распределения случайной величины Х2 таков:
| Х2 | ||||
| P | 0,5 | 0,05 | 0,35 | 0,1 |
Дисперсия находится по известной формуле:
, а среднее квадратическое отклонение как:
Ответ: D(X) = 1230, .
Задача 3
Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение, если задана непрерывная случайная величина интегральной функцией распределения:
Решение.
Найдем дифференциальную функцию распределения:
Математическое ожидание X и X2:
;
.
Тогда:
;
.
Ответ: D(X) = , .