Числовые характеристики случайных величин

Способы задания законов распределения дискретных

Случайных величин

1.1. Случайная величина называется дискретной, если ее значения можно пронумеровать Числовые характеристики случайных величин - student2.ru . Она может быть задана рядом распределения, многоугольником или функцией распределения.

1.2. Рядом распределения называется совокупность всех частных значений хi и соответствующих им вероятностей Числовые характеристики случайных величин - student2.ru . Ряд распределения оформляется обычно в виде таблицы

xi x1 x2 xn
pi p1 p2 pn

Числовые характеристики случайных величин - student2.ru

1.3. Многоугольником распределения называется графическое изображение ряда распределения.

Числовые характеристики случайных величин - student2.ru

1.4. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), равная вероятности того, что случайная величина примет значения меньшее выбранного значения, т.е. Числовые характеристики случайных величин - student2.ru . Функция F(x) вычисляется по формуле Числовые характеристики случайных величин - student2.ru , где суммирование ведется по всем значениям i, для которых Числовые характеристики случайных величин - student2.ru .

1.5. Свойства функции распределения

1. F(x) – функция неубывающая.

2. Числовые характеристики случайных величин - student2.ru .

3. Числовые характеристики случайных величин - student2.ru .

График имеет вид

Числовые характеристики случайных величин - student2.ru

Пример 1.1. Составить ряд распределения числа попаданий мячом в корзину при одном броске p = 0,3. Построить многоугольник и функцию распределения.

Решение. Случайная величина Х – число попаданий мячом в корзину при трех бросках. Она может принимать значения 0, 1, 2, 3. Соответствующие вероятности могут быть вычислены по формуле:

Числовые характеристики случайных величин - student2.ru .

Этой формулой можно пользоваться, если независимые испытания производятся n раз, вероятность события в каждом испытании постоянна и равна p, a Числовые характеристики случайных величин - student2.ru . Числовые характеристики случайных величин - student2.ru – число сочетаний из n по k.

Здесь Числовые характеристики случайных величин - student2.ru .

Числовые характеристики случайных величин - student2.ru

Ряд распределения

xi
pi 0,343 Числовые характеристики случайных величин - student2.ru 0,441 0,189 0,027

Многоугольник распределения Функция распределения

 
  Числовые характеристики случайных величин - student2.ru
Числовые характеристики случайных величин - student2.ru

Непрерывная случайная величина. Плотность распределения.

2.1. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна.

Для описания непрерывных законов распределения чаще используется понятие плотности распределения:

Числовые характеристики случайных величин - student2.ru .

Числовые характеристики случайных величин - student2.ru называют также дифференциальной функцией распределения, а ее график – кривой распределения.

2.2. Свойства дифференциальной функции распределения.

Числовые характеристики случайных величин - student2.ru

Учитывая свойство (4), функцию F(x) часто называют интегральной функцией распределения непрерывной величины Х.

Пример 2.1. Непрерывная случайная величина имеет интегральную функцию распределения:

Числовые характеристики случайных величин - student2.ru

Найти Числовые характеристики случайных величин - student2.ru . Построить графики Числовые характеристики случайных величин - student2.ru .

Решение. По условию задачи функция F(x) непрерывна. При х = 0 разрыва нет. Числовые характеристики случайных величин - student2.ru ; Числовые характеристики случайных величин - student2.ru , чтобы при х = 1 не было разрыва, выбираем а = 1.

Числовые характеристики случайных величин - student2.ru Числовые характеристики случайных величин - student2.ru Числовые характеристики случайных величин - student2.ru

Числовые характеристики случайных величин - student2.ru

Числовые характеристики случайных величин - student2.ru или

Числовые характеристики случайных величин - student2.ru

Числовые характеристики случайных величин

3.1. Основные числовые характеристики для дискретных случайных величин определяются по формулам:

Числовые характеристики случайных величин - student2.ru

Числовые характеристики случайных величин - student2.ru – математическое ожидание случайной величины Х, которое характеризует среднее значение случайной величины, центр распределения. Числовые характеристики случайных величин - student2.ru – дисперсия, определяет рассеивание случайной величины около центра. Числовые характеристики случайных величин - student2.ru – среднее квадратичное отклонение.

3.2. По аналогии с дискретным распределением математическое ожидание и дисперсия в случае непрерывной случайной определяется формулами:

Числовые характеристики случайных величин - student2.ru Числовые характеристики случайных величин - student2.ru

3.3. Отметим еще формулу, удобную при вычислении дисперсии:

Числовые характеристики случайных величин - student2.ru

3.4. Свойства математического ожидания и дисперсии

1. Числовые характеристики случайных величин - student2.ru – неслучайная величина.

2. Числовые характеристики случайных величин - student2.ru

3. Числовые характеристики случайных величин - student2.ru для любых X и Y.

Числовые характеристики случайных величин - student2.ru для независимых случайных величинX и Y.

4. Числовые характеристики случайных величин - student2.ru для независимых случайных величинX и Y.

Пример 3.1. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины примера 1.2. Числовые характеристики случайных величин - student2.ru

Числовые характеристики случайных величин - student2.ru Числовые характеристики случайных величин - student2.ru

Числовые характеристики случайных величин - student2.ru

Пример 3.2. Вычислить математическое ожидание и дисперсию для непрерывной случайной величины примера 2.1. Числовые характеристики случайных величин - student2.ru

Числовые характеристики случайных величин - student2.ru

Числовые характеристики случайных величин - student2.ru

Числовые характеристики случайных величин - student2.ru

Числовые характеристики случайных величин - student2.ru

Наши рекомендации