Тогда можно записать выражение (8) с использованием приведенного момента инерции

Пример 1

На кривошипно-шатунный механизм, расположенный в горизонтальной плоскости (рисунок 1), не действуют движущие силы и силы сопротивления: движение происходит по инерции.

Угловая скорость кривошипа w1 = 220 рад/с; длина кривошипа ℓ1 = 0,02 м; длина шатуна ℓ2 = 0,08 м; ; момент инерции кривошипа I1 = 0,0002 кг×м2; момент инерции шатуна кг×м2; масса звеньев m2 = 0,6 кг; m3 = 0,2 кг.

Решение

Изобразим механизм в 12 положениях, различающихся тем, что кривошип занимает 12 равноотстоящих (через 30°) положений (рисунок 2). Положение механизма, когда поршень находится вверху, обозначим номером 0. Далее нумеруем положения кривошипа (и механизма) по направлению вращения: 0, 1, 2 … 11. Положительным является вращение против часовой стрелки, отрицательным – по часовой стрелке.

Рисунок 2 – Кривошипно-шатунный механизм в 12 положениях

Определим значения , и w2 для каждого из 12-ти положений механизма.

Приведем здесь примеры определения указанных характеристик для 4-го и 9-го положений механизма. (Здесь и далее жирным шрифтом выделены разъяснения, которые при выполнении расчетно-графической работы приводить не следует).

Построим механизм в масштабе в 4-ом положении (рисунок 3).

Размеры звеньев механизма таковы, что позволяют изобразить длины звеньев в натуральную величину. В черчении такой масштаб обозначают

М 1:1, в курсе ТММ для такой схемы масштабный коэффициент длины

М/мм.

Векторное уравнение связывает между собой скорость точек механизма A и B, VA и VB:

, (1)

где - вектор скорости точки B вокруг точки Aиз-за вращения шатуна.

Рисунок 3 – Схема кривошипно-шатунного механизма в 4-ом положении

Вектор направлен нормально к ОА, а численное значение VA определим по формуле:

м/с.  

Вектор скорости VB направлен вдоль оси y. Вектор нормален шатуну, прямой AB.

Уравнение (1) содержит лишь два неизвестных параметра: модуль вектора скорости и модуль вектора скорости . Известно, что векторное уравнение, записанное для плоскости и содержащее два неизвестных параметра, может быть решено.

Решим уравнение (1) графическим способом, т. е. методом плана.

Из произвольной точки, обозначим её p, изобразим вектор . Длину вектора VA выберем, например, 44 мм (т. к. VA = 4,4 м/с). Конец вектора обозначим точкой а, т. к. этот вектор изображает скорость точки А. Тогда масштабный коэффициент скорости μV окажется равным

.  

Из точки p проведем прямую (в обе стороны от p), параллельную оси y. После этого из точки а плана скоростей проведем прямую, перпендикулярную шатуну AB, до пересечения с предыдущей прямой, обозначим точку пересечения b. Теперь расставим стрелки так, чтобы выполнялось условие (1). Измерим отрезок pb, используем масштабный коэффициент μV для определения скорости точки B:

.  

Точно так же

.  

По условию задачи = 0,3×ℓAВ, поэтому точку s2 наносим на плане скоростей на отрезок ab так, чтобы as2 = 0,3×ab. Тогда вектор скорости изобразится идущим из точки p в точку s2. Измерив его, вычислим

.  

Кроме линейных скоростей точек механизма, VA, VB и , определим угловую скорость шатуна в этом, 4-ом, положении:

.  

Аналогично строим план скоростей для положения 9 (рисунок 4).

Очередность операций точно такая же, как описана выше, однако перпендикуляр из точки а к шатуну AB и прямая, проведенная из точки а параллельно оси y, пересекаются тут же, в точке а. Значит здесь же и расположена точка b. И точка s2, находящаяся между а и b, находится здесь же. Векторы скоростей точек A, B и S2 совпали:

VB = VA = = 4,4 м/с  

Аналогично строим оставшиеся планы скоростей. Результаты определения скоростей размещаем в таблице 2.

Рекомендуется использовать возможности электронных таблиц программы Excel для выполнения повторяющихся вычислений. В таблице 2 в затененные ячейки помещаются числовые данные пользователем. В светлых ячейках помещаются запрограммированные формулы, по которым вычисляются указанные в левом боковике величины.

Рисунок 4 – Схема кривошипно-шатунного механизма в 9-ом положении

Определим кинетическую энергию всего механизма Т, предполагая, что угловая скорость кривошипа остается неизменной во всех положениях механизма, т. е. w1 = const.

Т = Т1 + Т2 + Т3, (2)

где Т1, Т2, Т3 - кинетическая энергия 1-го, 2-го и 3-го звеньев механизма.

Угловая скорость w1=220рад/с=const, поэтому для всех положений механизма кинетическая энергия кривошипа, звена 1,

Дж.  

Кинетическая энергия второго звена, совершающего плоское движение,

T2 = T + Т , (3)

где T, Т - кинетическая энергия поступательного и вращательного движения 2-го звена.

(4)
. (5)

Кинетическая энергия третьего звена, ползуна, движущегося возвратно-поступательно, определяется по формуле:

. (6)

Кинетическая энергия 2-го и 3-го звеньев, вычисляемая по приведенным формулам, приобретает различные значения в разных положениях механизма. Вычислим эти значения для 4-го положения:

Дж;  
Дж;  
Дж.  

Вычисляем общую кинетическую энергию по выражению (2). Эти вычисления выполняем для всех 12-ти положений механизма и заполняем таблицу 2.

Таблица 2 – Определение динамических характеристик КШМ в 12 положениях

ПАРАМЕТР НОМЕР ПОЛОЖЕНИЯ МЕХАНИЗМА
pb, мм
ps2, мм
ab, мм
VB, м/с 2,7 4,3 4,4 3,3 1,7 1,7 3,3 4,4 4,3 2,7
Vs2, м/с 3,00 3,50 4,30 4,40 4,00 3,30 3,00 3,30 4,00 4,40 4,30 3,50
ω2, рад/с 28,5 28,5 28,5 28,5
T1, Дж 4,84 4,84 4,84 4,84 4,84 4,84 4,84 4,84 4,84 4,84 4,84 4,84
T, Дж 2,70 3,68 5,55 5,81 4,80 3,27 2,70 3,27 4,80 5,81 5,55 3,68
T, Дж 0,38 0,29 0,10 0,00 0,10 0,29 0,38 0,29 0,10 0,00 0,10 0,29
T3, Дж 0,00 0,73 1,85 1,94 1,09 0,29 0,00 0,29 1,09 1,94 1,85 0,73
Т, Дж 7,92 9,53 12,34 12,58 10,83 8,68 7,92 8,68 10,83 12,58 12,34 9,53
Тд, Дж 10,25 10,25 10,25 10,25 10,25 10,25 10,25 10,25 10,25 10,25 10,25 10,25
Iп, кг∙м2 0,000327 0,000394 0,000510 0,000520 0,000448 0,000359 0,000327 0,000359 0,000448 0,000520 0,000510 0,000394
ωд, рад/с
Tмк, Дж 12,76 14,37 17,18 17,42 15,67 13,52 12,76 13,52 15,67 17,42 17,18 14,37
Тдмк, Дж 15,09 15,09 15,09 15,09 15,09 15,09 15,09 15,09 15,09 15,09 15,09 15,09
Iпмк, кг∙м2 0,000527 0,000594 0,000710 0,000720 0,000648 0,000559 0,000527 0,000559 0,000648 0,000720 0,000710 0,000594
ωдмк, рад/с

Выражение (2) для определения кинетической энергии механизма теперь можно представить в виде:

. (7)

Вынесем за скобки и получим:

. (8)

Величину, заключенную в скобки, называют приведенным моментом инерции механизма, IП:

. (9)

Тогда можно записать выражение (8) с использованием приведенного момента инерции

. (10)

Физический смысл IП : –это такой момент инерции, обладая которым вращающееся вокруг оси О звено будет обладать таким же запасом кинетической энергии, который имеет в данный момент весь механизм. Приведенный момент инерции принимает разные значения в различных положениях механизма, поэтому, полагая w1 = const, в расчетах получили разные значения Т. В действительности же, согласно теореме о сохранении кинетической энергии, величина Т имеет неизменное значение. Действительная угловая скорость кривошипа wд изменяется, сохраняя неизменным произведение : при увеличении IП значение wд снижается и наоборот. Величина же кинетической энергии остается неизменной во всех положениях.

Обозначим действительное, неизменное значение кинетической энергииТд. Очевидно, что это значение близко к среднему арифметическому максимального и минимального значений Т:

. (11)

Изменяющиеся значения величины IП вычислим для каждого положения механизма по формуле:

. (12)

и занесем их в таблицу 2.

Для каждого положения с учетом переменного значения IП определим значения wд из условия постоянства кинетической энергии Тд во всех положениях механизма:

. (13)

и также занесем их в таблицу 2. Построим график зависимости wд(φ) (рисунок 5).

Действительная угловая скорость кривошипа wд, рад/с

  Номер положения механизма

Рисунок 5 – Зависимость действительной угловой скорости

кривошипа от положения КШМ

Вычислим коэффициент неравномерности вращения кривошипа , используя максимальное , минимальное и среднее действительные значения угловой скорости:

. (14)

В качестве можно выбрать номинальную угловую скорость w1.

Вычислим

.

Исследуем теперь, как изменится значение d, если в исходных данных момент инерции кривошипа увеличить вдвое. На практике это достигается путем установки махового колеса (маховика).

Необходимо вновь решить всю задачу, но при этом в исходных данных принять новое значение момента инерции первого звена I1мк =2∙I1. Все величины, рассчитанные для этого случая снабдим индексом «мк»: Тмк, Тдмк, Iпмк, wдмк. При повторном решении нужно выполнить только те действия и вычисления, которые изменились.

Заполняем таблицу 2 до конца. Построим график зависимости угловой скорости кривошипа с маховиком wд мк от угла поворота φ1 (рисунок 6).

Действительная угловая скорость кривошипа wд, рад/с

  Номер положения механизма

Рисунок 6 – Зависимость действительной угловой скорости кривошипа с маховиком от положения КШМ

Значение коэффициента неравномерности движения кривошипа с установленным маховиком:

.

И на графиках (рисунки 5, 6), и, сравнивая значения коэффициента неравномерности для двух случаев (d и dмк), видно, что неравномерность вращения кривошипа при установке маховика уменьшается.

ЗАДАЧА 2. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЛАНЕТАРНОГО МЕХАНИЗМА

Дана схема планетарного механизма, в котором все колеса имеют одинаковый модуль зубьев. Входным звеном является звено 1. Определить выходное звено (в) и передаточное отношение U двумя способами: графическим и аналитическим с использованием формулы Виллиса.

Определить также скорость точки А и скорость оси сателлита, точки О2.

Исходные данные приведены в таблице 3, схема планетарного механизма – в таблице 4.

Таблица 3 – Исходные данные

Предпоследняя цифра шифра Число зубьев колеса Частота вращения входного звена n1, об/мин Модуль зубьев колес m, мм
  z1 z2 z2¢ (если есть колесо 2¢)
2,5

Таблица 4 – Схемы планетарных механизмов

Пример 2

Рассмотрим в качестве примера вариант 99.

Нарисуем схему в масштабе (рисунок 7). Диаметр колес 1, 2, 2¢ и 3 изобразим пропорционально числу зубьев колес: z1 = 42, z2 = 16, z2¢ = 24.

Рисунок 7 – Схема планетарного механизма (вариант 99)

Число зубьев 3-го колеса определяется из условия соосности.

Наши рекомендации