Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления

Для расчета движения механической системы маятник-груз применим уравнения динамики поступательного движения для груза, закрепленного на нити, и динамики вращательного движения для маятника.

Груз массой m движется с ускорением Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru под действием результирующей сил тяжести Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru и силы натяжения нити Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru . Запишем второй закон Ньютона в проекции на направление движения:

Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru (1)

Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru Сила натяжения передается нитью от груза к шкиву вращающегося маятника. Если предположить, что нить невесомая, то на шкив маятника действует сила Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru , равная по величине Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru и противоположная ей по направлению (следствие третьего закона Ньютона: Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru ). Сила натяжения создает вращательный момент Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru относительно горизонтальной оси O, направленный «от нас» и приводящий в движение маятник Обербека. Величина этого момента равна Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru , где R – радиус шкива, на который намотана нить, Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru , где D -диаметр шкива.

Момент силы сопротивления относительно оси вращения Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru направлен в противоположную сторону (к нам).

Основной закон динамики вращательного движения:

Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru ,

где Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru - результирующий момент сил,

J – момент инерции маятника,

Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru - угловое ускорение.

В скалярной форме это уравнение имеет вид (записаны проекции векторов моментов сил и углового ускорения на ось вращения О,направление которой выбрано «от нас»):

Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru (2)

Используя кинематическую связь линейного и углового ускорения Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru , а также уравнение движения груза Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru , выразим e через измеряемые величины x и t:

Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru (3)

Решим систему уравнений (1) и (2), для чего умножим (1) на R и сложим с (2):

Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru .

Выражаем момент инерции маятника Обербека:

Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru (4)

Все величины, кроме МСОПР, входящие в это уравнение, известны. Поставим задачу экспериментального определения МСОПР.

Пусть I – момент инерции маятника Обербека без грузов. Из (4) следует, что

Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru (5)

В условиях эксперимента Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru , что позволяет считать зависимость e(m) линейной.

Эту зависимость можно использовать для экспериментальной оценки величины Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru . Действительно, если полученную экспериментально зависимость Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru экстраполировать до пересечения с осью абсцисс, то есть до точки Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru на этой оси, для которой выполняется (см. 5) равенство Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru , то это позволяет определить Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru как

Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru . (6)

Для определения момента инерции маятника I воспользуемся (4), где величина МСОПР предварительно определена из измерений e(m) и формулы (6). Подставив выражение e из (3) и МСОПР из (6) в (4), получаем рабочую формулу для определения момента инерции маятника

Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru .

Для используемого в работе маятника Обербека справедливо неравенство Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru . Учитывая это, получаем: Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru .

Для расчетов удобно представить момент инерции в виде:

Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru (7)

где Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru .

Величины коэффициентов k: k1, k2 для соответствующих диаметров шкивов D1,D2 указываются в паспорте установки. Для определения момента инерции маятника необходимо измерить время t опускания груза массой m.

Зависимость момента инерции маятника от расстояния грузов до оси вращения

Момент инерции маятника Обербека может быть представлен как сумма моментов инерции крестовины со шкивами (I1) и моментов инерции четырех грузиков, закрепленных на расстояниях r от оси вращения (4I2). Если размеры этих грузиков малы в сравнении с r, можно считать, что I2=m1r2 - момент инерции материальной точки. Тогда момент инерции маятника

Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru (8)

Эту зависимость момента инерции от расстояния грузов до оси вращения предполагается проверить, используя результаты, полученные по формуле (7).

Значение Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru можно взять из данных эксперимента для определения момента инерции маятника Обербека без грузов, считая, что момент сил сопротивления остается постоянным.

Задание к работе:

1. Приступив к работе, снимите грузы со стержней, намотайте нить на шкив большего диаметра. Для трёх значений массы подвешенного груза m измерьте время опускания груза t для заданного расстояния x. По формуле (3) рассчитайте величину углового ускорения e для соответствующих значений m.

2. Постройте зависимость e(m). Определите из графика по точке его пересечения с осью абсцисс значение m0, при котором e=0. Рассчитайте по формуле (6) величину момента сил сопротивления МСОПР.

3. Проведите прямые пятикратные измерения времени опускания груза для заданного расстояния x.

4. Рассчитайте среднее время t и определите доверительную погрешность измерения Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru при доверительной вероятности Р=90%, n=5 (см. «Введение»).

5. Вычислите по формуле (7) среднее значение момента инерции крестовины со шкивами Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru .

6. Определите доверительную погрешность косвенных измерений момента инерции крестовины Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru (см. «Введение») и запишите результаты в виде Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления - student2.ru .

7. Закрепив грузы m1 на стержнях маятника на равном расстоянии r от оси вращения, определите это расстояние либо с помощью линейки, либо используя указанные около установки исходные данные.

8. Проведите однократные измерения времени t опускания груза массой m (выберите одно значение) для одной высоты падения при трёх различных расстояниях r от оси вращения.

9. Вычислите моменты инерции маятника с грузами на стержнях по формуле (7) при различных расстояниях r. При этом, как показали предварительные опыты, можно с допустимой точностью использовать в качестве величины m0 её значение, найденное ранее для крестовины без грузов на спицах. Сравните полученные данные со значениями момента инерции, вычисленными по формуле (8) для соответствующих значений r. Результаты вычислений занесите в таблицу измерений.

10. Постройте на одном рисунке графики экспериментально полученной и теоретически ожидаемой зависимости момента инерции маятника от r2, проанализируйте причины их несовпадения.

Контрольные вопросы:

1. Какова цель данной работы?

2. Момент инерции, его физический смысл.

3. Как можно изменить момент инерции маятника Обербека?

4. Исходя их уравнений динамики поступательного и вращательного движения, вывести рабочую формулу (7).

5. В каком случае движение маятника является равноускоренным?

6. Как измерить расстояние от оси вращения до центров грузиков, закрепленных на стержнях?

7. Каким образом в данной работе подтверждается линейная зависимость момента инерции от квадрата расстояния тел до оси вращения?

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. - М, Наука, 1982 г. Т.1. и последующие издания.

Лабораторная работа № 4

Наши рекомендации