Тогда можно записать выражение (8) с использованием приведенного момента инерции
Пример 1
На кривошипно-шатунный механизм, расположенный в горизонтальной плоскости (рисунок 1), не действуют движущие силы и силы сопротивления: движение происходит по инерции.
Угловая скорость кривошипа w1 = 220 рад/с; длина кривошипа ℓ1 = 0,02 м; длина шатуна ℓ2 = 0,08 м; ; момент инерции кривошипа I1 = 0,0002 кг×м2; момент инерции шатуна кг×м2; масса звеньев m2 = 0,6 кг; m3 = 0,2 кг.
Решение
Изобразим механизм в 12 положениях, различающихся тем, что кривошип занимает 12 равноотстоящих (через 30°) положений (рисунок 2). Положение механизма, когда поршень находится вверху, обозначим номером 0. Далее нумеруем положения кривошипа (и механизма) по направлению вращения: 0, 1, 2 … 11. Положительным является вращение против часовой стрелки, отрицательным – по часовой стрелке.
Рисунок 2 – Кривошипно-шатунный механизм в 12 положениях
Определим значения , и w2 для каждого из 12-ти положений механизма.
Приведем здесь примеры определения указанных характеристик для 4-го и 9-го положений механизма. (Здесь и далее жирным шрифтом выделены разъяснения, которые при выполнении расчетно-графической работы приводить не следует).
Построим механизм в масштабе в 4-ом положении (рисунок 3).
Размеры звеньев механизма таковы, что позволяют изобразить длины звеньев в натуральную величину. В черчении такой масштаб обозначают
М 1:1, в курсе ТММ для такой схемы масштабный коэффициент длины
М/мм.
Векторное уравнение связывает между собой скорость точек механизма A и B, VA и VB:
| , | (1) |
где - вектор скорости точки B вокруг точки Aиз-за вращения шатуна.
Рисунок 3 – Схема кривошипно-шатунного механизма в 4-ом положении
Вектор направлен нормально к ОА, а численное значение VA определим по формуле:
| м/с. |
Вектор скорости VB направлен вдоль оси y. Вектор нормален шатуну, прямой AB.
Уравнение (1) содержит лишь два неизвестных параметра: модуль вектора скорости и модуль вектора скорости . Известно, что векторное уравнение, записанное для плоскости и содержащее два неизвестных параметра, может быть решено.
Решим уравнение (1) графическим способом, т. е. методом плана.
Из произвольной точки, обозначим её p, изобразим вектор . Длину вектора VA выберем, например, 44 мм (т. к. VA = 4,4 м/с). Конец вектора обозначим точкой а, т. к. этот вектор изображает скорость точки А. Тогда масштабный коэффициент скорости μV окажется равным
| . |
Из точки p проведем прямую (в обе стороны от p), параллельную оси y. После этого из точки а плана скоростей проведем прямую, перпендикулярную шатуну AB, до пересечения с предыдущей прямой, обозначим точку пересечения b. Теперь расставим стрелки так, чтобы выполнялось условие (1). Измерим отрезок pb, используем масштабный коэффициент μV для определения скорости точки B:
| . |
Точно так же
| . |
По условию задачи = 0,3×ℓAВ, поэтому точку s2 наносим на плане скоростей на отрезок ab так, чтобы as2 = 0,3×ab. Тогда вектор скорости изобразится идущим из точки p в точку s2. Измерив его, вычислим
| . |
Кроме линейных скоростей точек механизма, VA, VB и , определим угловую скорость шатуна в этом, 4-ом, положении:
| . |
Аналогично строим план скоростей для положения 9 (рисунок 4).
Очередность операций точно такая же, как описана выше, однако перпендикуляр из точки а к шатуну AB и прямая, проведенная из точки а параллельно оси y, пересекаются тут же, в точке а. Значит здесь же и расположена точка b. И точка s2, находящаяся между а и b, находится здесь же. Векторы скоростей точек A, B и S2 совпали:
| VB = VA = = 4,4 м/с |
Аналогично строим оставшиеся планы скоростей. Результаты определения скоростей размещаем в таблице 2.
Рекомендуется использовать возможности электронных таблиц программы Excel для выполнения повторяющихся вычислений. В таблице 2 в затененные ячейки помещаются числовые данные пользователем. В светлых ячейках помещаются запрограммированные формулы, по которым вычисляются указанные в левом боковике величины.
Рисунок 4 – Схема кривошипно-шатунного механизма в 9-ом положении
Определим кинетическую энергию всего механизма Т, предполагая, что угловая скорость кривошипа остается неизменной во всех положениях механизма, т. е. w1 = const.
| Т = Т1 + Т2 + Т3, | (2) |
где Т1, Т2, Т3 - кинетическая энергия 1-го, 2-го и 3-го звеньев механизма.
Угловая скорость w1=220рад/с=const, поэтому для всех положений механизма кинетическая энергия кривошипа, звена 1,
| Дж. |
Кинетическая энергия второго звена, совершающего плоское движение,
| T2 = T2П + Т2В , | (3) |
где T2П, Т2В - кинетическая энергия поступательного и вращательного движения 2-го звена.
| (4) | |
| . | (5) |
Кинетическая энергия третьего звена, ползуна, движущегося возвратно-поступательно, определяется по формуле:
| . | (6) |
Кинетическая энергия 2-го и 3-го звеньев, вычисляемая по приведенным формулам, приобретает различные значения в разных положениях механизма. Вычислим эти значения для 4-го положения:
| Дж; | |
| Дж; | |
| Дж. |
Вычисляем общую кинетическую энергию по выражению (2). Эти вычисления выполняем для всех 12-ти положений механизма и заполняем таблицу 2.
Таблица 2 – Определение динамических характеристик КШМ в 12 положениях
| ПАРАМЕТР | НОМЕР ПОЛОЖЕНИЯ МЕХАНИЗМА | |||||||||||
| pb, мм | ||||||||||||
| ps2, мм | ||||||||||||
| ab, мм | ||||||||||||
| VB, м/с | 2,7 | 4,3 | 4,4 | 3,3 | 1,7 | 1,7 | 3,3 | 4,4 | 4,3 | 2,7 | ||
| Vs2, м/с | 3,00 | 3,50 | 4,30 | 4,40 | 4,00 | 3,30 | 3,00 | 3,30 | 4,00 | 4,40 | 4,30 | 3,50 |
| ω2, рад/с | 28,5 | 28,5 | 28,5 | 28,5 | ||||||||
| T1, Дж | 4,84 | 4,84 | 4,84 | 4,84 | 4,84 | 4,84 | 4,84 | 4,84 | 4,84 | 4,84 | 4,84 | 4,84 |
| T2П, Дж | 2,70 | 3,68 | 5,55 | 5,81 | 4,80 | 3,27 | 2,70 | 3,27 | 4,80 | 5,81 | 5,55 | 3,68 |
| T2В, Дж | 0,38 | 0,29 | 0,10 | 0,00 | 0,10 | 0,29 | 0,38 | 0,29 | 0,10 | 0,00 | 0,10 | 0,29 |
| T3, Дж | 0,00 | 0,73 | 1,85 | 1,94 | 1,09 | 0,29 | 0,00 | 0,29 | 1,09 | 1,94 | 1,85 | 0,73 |
| Т, Дж | 7,92 | 9,53 | 12,34 | 12,58 | 10,83 | 8,68 | 7,92 | 8,68 | 10,83 | 12,58 | 12,34 | 9,53 |
| Тд, Дж | 10,25 | 10,25 | 10,25 | 10,25 | 10,25 | 10,25 | 10,25 | 10,25 | 10,25 | 10,25 | 10,25 | 10,25 |
| Iп, кг∙м2 | 0,000327 | 0,000394 | 0,000510 | 0,000520 | 0,000448 | 0,000359 | 0,000327 | 0,000359 | 0,000448 | 0,000520 | 0,000510 | 0,000394 |
| ωд, рад/с | ||||||||||||
| Tмк, Дж | 12,76 | 14,37 | 17,18 | 17,42 | 15,67 | 13,52 | 12,76 | 13,52 | 15,67 | 17,42 | 17,18 | 14,37 |
| Тдмк, Дж | 15,09 | 15,09 | 15,09 | 15,09 | 15,09 | 15,09 | 15,09 | 15,09 | 15,09 | 15,09 | 15,09 | 15,09 |
| Iпмк, кг∙м2 | 0,000527 | 0,000594 | 0,000710 | 0,000720 | 0,000648 | 0,000559 | 0,000527 | 0,000559 | 0,000648 | 0,000720 | 0,000710 | 0,000594 |
| ωдмк, рад/с |
Выражение (2) для определения кинетической энергии механизма теперь можно представить в виде:
| . | (7) |
Вынесем за скобки и получим:
| . | (8) |
Величину, заключенную в скобки, называют приведенным моментом инерции механизма, IП:
| . | (9) |
Тогда можно записать выражение (8) с использованием приведенного момента инерции
| . | (10) |
Физический смысл IП : –это такой момент инерции, обладая которым вращающееся вокруг оси О звено будет обладать таким же запасом кинетической энергии, который имеет в данный момент весь механизм. Приведенный момент инерции принимает разные значения в различных положениях механизма, поэтому, полагая w1 = const, в расчетах получили разные значения Т. В действительности же, согласно теореме о сохранении кинетической энергии, величина Т имеет неизменное значение. Действительная угловая скорость кривошипа wд изменяется, сохраняя неизменным произведение : при увеличении IП значение wд снижается и наоборот. Величина же кинетической энергии остается неизменной во всех положениях.
Обозначим действительное, неизменное значение кинетической энергииТд. Очевидно, что это значение близко к среднему арифметическому максимального и минимального значений Т:
| . | (11) |
Изменяющиеся значения величины IП вычислим для каждого положения механизма по формуле:
| . | (12) |
и занесем их в таблицу 2.
Для каждого положения с учетом переменного значения IП определим значения wд из условия постоянства кинетической энергии Тд во всех положениях механизма:
| . | (13) |
и также занесем их в таблицу 2. Построим график зависимости wд(φ) (рисунок 5).
| Действительная угловая скорость кривошипа wд, рад/с |
| ||||
| Номер положения механизма |
Рисунок 5 – Зависимость действительной угловой скорости
кривошипа от положения КШМ
Вычислим коэффициент неравномерности вращения кривошипа , используя максимальное , минимальное и среднее действительные значения угловой скорости:
| . | (14) |
В качестве можно выбрать номинальную угловую скорость w1.
Вычислим
.
Исследуем теперь, как изменится значение d, если в исходных данных момент инерции кривошипа увеличить вдвое. На практике это достигается путем установки махового колеса (маховика).
Необходимо вновь решить всю задачу, но при этом в исходных данных принять новое значение момента инерции первого звена I1мк =2∙I1. Все величины, рассчитанные для этого случая снабдим индексом «мк»: Тмк, Тдмк, Iпмк, wдмк. При повторном решении нужно выполнить только те действия и вычисления, которые изменились.
Заполняем таблицу 2 до конца. Построим график зависимости угловой скорости кривошипа с маховиком wд мк от угла поворота φ1 (рисунок 6).
| Действительная угловая скорость кривошипа wд, рад/с |
| ||||
| Номер положения механизма |
Рисунок 6 – Зависимость действительной угловой скорости кривошипа с маховиком от положения КШМ
Значение коэффициента неравномерности движения кривошипа с установленным маховиком:
.
И на графиках (рисунки 5, 6), и, сравнивая значения коэффициента неравномерности для двух случаев (d и dмк), видно, что неравномерность вращения кривошипа при установке маховика уменьшается.
ЗАДАЧА 2. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЛАНЕТАРНОГО МЕХАНИЗМА
Дана схема планетарного механизма, в котором все колеса имеют одинаковый модуль зубьев. Входным звеном является звено 1. Определить выходное звено (в) и передаточное отношение U1в двумя способами: графическим и аналитическим с использованием формулы Виллиса.
Определить также скорость точки А и скорость оси сателлита, точки О2.
Исходные данные приведены в таблице 3, схема планетарного механизма – в таблице 4.
Таблица 3 – Исходные данные
| Предпоследняя цифра шифра | Число зубьев колеса | Частота вращения входного звена n1, об/мин | Модуль зубьев колес m, мм | ||
| z1 | z2 | z2¢ (если есть колесо 2¢) | |||
| 2,5 | |||||
Таблица 4 – Схемы планетарных механизмов
Пример 2
Рассмотрим в качестве примера вариант 99.
Нарисуем схему в масштабе (рисунок 7). Диаметр колес 1, 2, 2¢ и 3 изобразим пропорционально числу зубьев колес: z1 = 42, z2 = 16, z2¢ = 24.
Рисунок 7 – Схема планетарного механизма (вариант 99)
Число зубьев 3-го колеса определяется из условия соосности.