IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

1. Найти область определения функций:

а) u = ;

б) u = arcsin (x + y);

в) u = y + .

2. Найти частные производные для функций:

а) u = x² + 2y² – 3xy ;

б) u = ;

в) z = ;

г) u = + ;

д) z = arctg .

3. Найти полный дифференциал функции z = arctg .

4. Найти , если z = , x = a cos t, y = a sin t.

5. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

z = x² – 2xy+ y²− x + 2y в точке М (1; 1; 1).

6. Вычислить приближенно с помощью дифференциала .

7. Выбрать правильный ответ.

Градиент функции z =x² + 3y² в точке А(1;1) равен:

а) {1;6};

б) 9;

в) {1;8};

г) {−1;8}.

8. Найти экстремум функции z = x²+ xy+ y² 3x 6y.

9. Выбрать правильный ответ.

Наибольшее и наименьшее значения функции z = xy + x + y в квадрате, ограниченном прямыми x = 1, x = 2, y = 2, y = 3:

а) z_наим = 5; z_наиб = 11;

б) z_наим = 3; z_наиб = 5;

в) z_наим =5; z_наиб = 13;

г) z_наим = −3; z_наиб = 4.

Ответы

I. Элементы векторной алгебры

1. −42.

2. {

3. в).

4. б); в); г).

5. а); б).

6.а).

7. .

8.

9. .

10. .

11. 4.

12. в).

13. в).

14. в).

15. с = − 6а + 4b.

16. а).

II. Элементы линейной алгебры

1. в).

2. б).

3. а), б), в), г).

4. б).

5. г).

6. 12.

7. а6; б3; в2; г5; д8; е1; з4.

8. а3; б2; в1.

9. Cистема совместна.

10. АС; ВС; СД; ДВ; СВ.

11. .

12. .

13. 2.

14. .

15.

16. г).

III. Аналитическая геометрия

1. а3; б4; в2; г1.

2. а) перпендикулярны; б) пересекаются; в) пересекаются; г) пер-пендикулярны; д) параллельны.

3. {− 4;

4. а) общее; б) канонические; в) параметрические; г) с угловым коэффициентом; д) нормальное; е) в отрезках.

5. 49.

6. {4; 2; −11}.

7. 16x – 6y – z = 0.

8. .

9. .

10. .

11. а) параболоид эллиптический; б) гиперболоид однополостный;

в) эллипсоид; г) цилиндр эллиптический; д) параболоид гиперболи-ческий; е) цилиндр параболический; ж) гиперболоид двуполостный.

12. а) правая ветвь параболы; б) нижняя ветвь гиперболы;

в) нижняя ветвь параболы; г) левая половина эллипса.

13. y² = 4x.

14. а) 3; 4; F₁(− 5; 0); F₂(5; 0); ε = ; б) 5; 3; F₁(− 4; 0); F₂(4; 0); ε = .

15. а) эллипс; б) парабола; в) гипербола; г) прямая.

IV. Введение в анализ

1. а1; б3; в4; г2.

2. а) [ 2;0) (0;2]; б) [0;4]; в)(−∞;0) г) ( ; ).

3. а) 2; б) ; г) ; в) 0; д) ; е) 8; ж) 2; з) e⁸.

4. а); в).

5. а) функция непрерывна; б) х = –2; х = –3 − точки разрыва II рода;

в) x = 4 – точка разрыва II рода.

6. а); г).

7. а1; б1; в1; г4; д2; е1; ж5; з1; и6; к1; л3.

8. а) ; б) 3; в) ; г) .

V. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1. а) 24x ; б) sin 2x; в) arcsin (ln x) + ;

г) 2x e^−2x(1 x); д) ln3 2^x ln2 ;

е) ; ж) x^{sin x} ; з) 2x^lnx−1lnx;

и) ; к) 1,5 ctg t; л) ;

м) ; н) ;

2. а7; б5; в9; г8; д10; е1; ж3; з6; и2; к4.

3. б).

4. а).

5. а) ; б) dx.

6. а) 4,9; б) 0,02.

7. а) y = 4e^2x dx²; б ) dy² = − dx².

8. ; .

9. а) 1; б) 9; в) ; г) 2.

10. а) sin ; б) .

VI. Исследование функций и построение графиков

1. а4; б1; в3; г2.

2. y = .

3. а); б); д).

4. а).

5. г).

6. а); в).

7. (0; 2).

8. в точке х = 4, y_min = − e⁴.

9. Наименьшее y = −18, наибольшее y = 2.

10. .

VII. Комплексные числа

1. а2; б3; в1.

2. б).

3. а) 3+ i; б) 4 + 3i; в) i.

4. 2¹⁵.

VIII. Интегральное исчисление функций одной переменной

1. а6; б5; в9; г7; д3; е1; ж10; з2; и12; к8; л4; м11; н13.

2.

а) arctg + C;	и) C;
б) + C;	к) + C;
в) + C;	л) x - sin 4x + C;
г) − + C;	м) 2 ln + + C;
д) – 3cos + C;	н) ;
е) – x cos x +sin x + C;	о) ;
ж) + C;	п) 0;
з) − 3 + 13 arcsin (x 3) + C;	р) −1.

3. Подынтегральная функция – нечетная.

4. а); б); г); д); е).

5. .

6. а) сходится, 1; б) сходится, ; в) расходится ; г) сходится , .

7. .

8. (2

9. 0,3 (куб.ед.)

10. 0 ≤ .

IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

1. а) x² + y² ≥ 1 – часть плоскости вне единичного круга:

б) полоса между параллельными прямыми x + y ≤ 1 и x + y≥ − 1;

в) полуплоскость x ≥ 0.

2. а) = 2x – 3y − 4; = 4y − 3x + 2.

б) = − = .

в) = 3x²y + y³; = (x³+ 3xy²).

г) = ; = − + ; = − .

д) = ; = .

3. dz = .

4. 0.

5. Касательная плоскость x − 2y + z = 0; нормаль .

6. 3,02.

7. в).

8. z_min = − 9.

9. а).

Список литературы

1. Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – CПб.: Профессия, 2006.

2. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике. – М. : Наука, 1977.

3. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. – В 2 ч. Ч. 1 : учеб. пособие для вузов / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, С. П. Данко. – 6-е изд. – М. : Мир и образование, 2007.

4. Клетеник, Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: учеб. пособие для втузов. – 17-е изд. – СПб. : Профессия, 2005.

5. Сборник задач по высшей математике. 1–й курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. – 3-е изд. – М. : Айрис-пресс, 2003.

6. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике : полный курс. – 2-е изд. ­– М. : Айрис-пресс, 2004.

7. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1 / под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. – М. : Наука, 1986.

Задания по математике

в тестовой форме

для организации самостоятельной работы

Учебно-методическое пособие

Часть 1

Составитель Смирнова Наталья Анатольевна

В редакции составителя

Корректор Н. К. Швиндт