Решение задач муниципального этапа
Решение задач муниципального этапа
Всероссийской олимпиады школьников по математике
Класс
1. Постройте ромб по диагонали и его высоте
Решение:Сначала построить треугольник по гипотенузе, равной диагонали, и катету, равному высоте. По этому треугольнику построить искомый ромб.
2. Расстояние между пунктами А и В – 60 км. Из А в В выходит автомобиль, а из В в том же направлении одновременно с первым автомобилем выходит второй. Если скорость первого автомобиля увеличить на 10 км/ч, а второго – на 8 км/ч, то первый автомобиль догонит второй в том же месте, но на час раньше. Какова скорость каждого автомобиля?
Решение:Пусть х км/ч скорость первого автомобиля, а у км/ч – скорость второго. Тогда 
откуда x-y=10. Значит х 
, х=50, у=40. Ответ: 50 и 40 км/ч
3. В равнобедренном треугольнике АВС (АС=АВ) отношение высоты AD к основанию ВС равно 
. Точка М взята на стороне АВ так, что 
. Найти величину угла МСВ.
Решение:Проведем DF║CM. Так как CD=DB, то MF=FB, а с учетом 
получаем AM=MF. Отсюда DE=AE. 
Имеем 
. Следовательно, 
.
4. Вычислите 
, если 
.
Решение: 
+6( 
=-64, тогда 
;
тогда 
Получаем 
5. Три юноши и семь девушек отправляются на двух лодках по реке. Сколькими способами их можно разместить в лодках поровну, чтобы в каждой лодке был хотя бы один юноша?
Решение:
Решение задач муниципального этапа
Всероссийской олимпиады школьников по математике
Класс
1. Найдите наибольшее значение функции у=(2-х)(х+2).
Ответ:4
2. Натуральное число х возвели в третью степень. Докажите, что хотя бы одно из чисел 
или 
делится на 10.
Решение: Возможное решение. Найдем последнюю цифру выражений и :
| x оканчивается на | ||||||||||
 оканчивается на | ||||||||||
| оканчивается на | ||||||||||
| оканчивается на |
Из таблицы видно, что хотя бы одно из чисел или делится на 10.
3. На боковой стороне АВ равнобедренного треугольника как на диаметре построена окружность. Окружность пересекает основание АС в точке М и боковую сторону ВС в точке N. Найдите длины отрезков MN и NC, если AC=a и AB=b. 
Решение: Так как АВ – диаметр окружности, то 
. Тогда ВМ – высота равнобедренного треугольника. Отсюда 
, 
. Следовательно, 
и 
. Имеем: 
. Отсюда 
.
4. Сколько членов арифметической прогрессии нужно взять, чтобы их сумма равнялась -122,5, если первый член прогрессии – наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству 
, а разность прогрессии – большее из чисел 0,5 и 
?
Решение:
, d=0,5.
5. Сколько различных пятизначных чисел, делящихся на 4 можно составить из цифр 1,2,3 и 5?
Решение:Указанные числа должны оканчиваться на 12, 32 или 52.При каждой из таких возможностей на первых трех местах может стоять любая из данных четырех цифр. Это размещения с повторениями. Их будет 
. Всего чисел 64 
3=192.
Решение задач муниципального этапа