Предел числовой последовательности

По аналогии с пределом функции в бесконечно удаленной точке вводится понятие предела последовательности.

Определение.

Число а называется пределом числовой последовательности , если для любого найдется такое натуральное число , что при всех выполняется неравенство

.

Обозначают:

или при .

Говорят также, что последовательность сходится к а.

Например, последовательность

с общим членом

имеет предел

.

Бесконечно большие функции

Определение.

Функция называется бесконечно большой при
(или ), если

или при .

Например, бесконечно большими функциями (б.б.ф.) являются:

при ;

при ;

при .

Различают частные случаи б.б.ф., когда, начиная с некоторого момента, б.б.ф. возрастая, принимает только положительные значения или, убывая, принимает только отрицательные значения.

Записывают это следующим образом:

, .

Например, , .

Бесконечно малые функции

Определение.

Функция называется бесконечно малой при
(или ), если

.

Бесконечно малые функции (б.м.ф.) обозначают малыми греческими буквами α(х), β(х) и т.д.

Например,

при ;

при ;

при .

Между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями существует простая связь, устанавливаемая следующей теоремой.

Теорема.

Если функция есть бесконечно малая функция при и в некоторой окрестности точки , то обратная величина является бесконечно большой функцией при .

Справедлива и обратная теорема: величина, обратная всякой бесконечно большой, будет бесконечно малой.

Например, при есть б.м.ф., а при − б.б.ф.

Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией

Сравнивая между собой определения предела функции в точке с определением бесконечно малой функции, можно заметить, что разность между функцией и ее пределом является величиной бесконечно малой.

Утверждение этого факта формулируют в двух теоремах − прямой и обратной.

Теорема (прямая).

Если функция имеет предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции , т.е. если , то

.

может принимать как положительные, так и отрицательные значения, т.е. функция может быть как больше, так и меньше своего предела.

Теорема (обратная).

Если функцию можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции , то число А является пределом функции , т.е. если , то

.

Основные теоремы о пределах

Приведем без доказательства теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций.

Пусть и − функции, для которых существуют пределы при (или ), т.е. и .

Теорема.

Если функция постоянна, то ее предел равен ей самой:

.

Теорема.

Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

.

Следствие.

Функция может иметь только один предел при .

Теорема.

Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

.

Следствие.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие.

Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

.

Теорема.

Если предел функции отличен от нуля, то предел обратной ей по величине функции равен обратной величине предела данной функции:

.

Теорема.

Предел частного равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля:

.

Теорема.

Если для функции существует , то

.