Схема полного исследования функции и построение ее графика

Для полного исследования функции и построения ее графика можно рекомендовать следующую примерную схему:

1) указать область определения;

2) найти точки разрыва функции, точки пересечения ее графика с осями координат;

3) установить наличие или отсутствие четности, нечетности, периодичности функции;

4) найти асимптоты графика функции;

5) исследовать функцию на монотонность и экстремум;

6) определить интервалы выпуклости и вогнутости;

7) построить график функции.

Решение типового задания.

Пример 1.Найти производную от функции .

Решение. Введем вспомогательную функцию u = x² + 3x+1, тогда можно записать где u = x²+3x+1.

По формуле имеем , или, заменив u на его значение:

К такой подробной записи прибегают только на начальной стадии освоения правил дифференцирования, а обычно вспомогательную функцию вводят только мысленно и выполняют указанные действия.

Пример 2. Найти производную от функции

Решение. Мысленно за u принимаем выражение x +7x–3 и получаем

Пример 3.Найти производную от функции .

Решение. По правилу дифференцирования произведения записываем:

При вычислении принимаем u=1 x², тогда

Таким образом,

.

Пример 4.Найти производную от функции .

Решение.Принимаем за вспомогательную функцию u и получим

При вычислении производной от за вспомогательную функцию примем :

.

Подставим найденное значение в выражение для , окончательно получим:

Пример 5. Дана функция . Найти .

Решение. Дифференцируем исходные равенства по t:

По формуле получим

.

Пример 6. Найти производную неявно заданной функции у:

Решение. Дифференцируя обе части уравнения и учитывая, что у – есть функция от х, получим:

или

Отсюда находим :

или

т.е.

Пример 7. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Проведем исследование по общей схеме.

1. Функция определена при всех значениях аргумента x, кроме x=1.

2. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств (тогда четная функция) или (для нечетной функции) для любых и из области определения функции:

Следовательно и то есть данная функция не является ни четной ни нечетной. Также не является периодической.

3. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. на интервалах и . В точке x=1 функция терпит разрыв второго рода.

Так как x=1 точка разрыва функции, причем . Поэтому прямая x=1 является вертикальной асимптотой графика.

Для определения уравнения наклонной асимптоты воспользуемся формулами:

Тогда

Значит прямая есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции.

4. Точки пересечения с осями координат: если , то ; если , то .

5. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:

при и не существует при Тем самым имеем две критические точки: . Но точка не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может.

Для наглядности результаты представим в виде таблицы изменения знака :

			+
	убывает	min	возрастает	убывает

В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает, во втором интервале–положительна и данная функция возрастает. При переходе через точку x=0 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: . Значит точка минимума.

6. Для определения точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:

при и не существует при . Для наглядности результаты представим в виде таблицы изменения знака

			+	+
		Перегиб

На первом интервале вторая производная отрицательна и дуга исследуемой кривой выпукла; на втором и третьем интервалах >0, тем самым график является вогнутым. При переходе через точку меняет свой знак, поэтому абсцисса точки перегиба. Следовательно, точка перегиба графика функции.

7. Учитывая полученные результаты, строим график функции:

y

x

0 1

B

A

Задачи №121-150:

Найти производные первого порядка данных функций, используя правила вычисления производных:

121.	а) ;	б)	в)
	г)	д) .
122.	а)	б)	в)
	г)	д) .
123.	а)	б)	в)
	г)	д)
124.	а)	б)	в)
	г)	д)
125.	а)	б)	в)
	г)	д)
126.	а)	б)	в)
	г)	д)
127.	а)	б)	в)
	г)	д)
128.	а)	б)	в)
	г)	д)
129.	а)	б)	в)
	г)	д)
130.	а)	б)	в)
	г)	д)
131.	а)	б)	в)
	г)	д)
132.	а)	б)	в)
	г)	д)
133.	а)	б)	в)
	г)	д)
134.	а)	б)	в)
	г)	д)
135.	а)	б)	в)
	г)	д)
136.	а)	б)	в)
	г)	д)
137.	а)	б)	в)
	г)	д)
138.	а)	б)	в)
	г)	д)
139.	а)	б)	в)
	г)	д)
140.	а)	б)	в)
	)	д)
141.	а)	б)	в)
	г)	д)
142.	а)	б)	в)
	г)	д)
143.	а)	б)	в)
	г)	д)
144.	а)	б)	в)
	г)	д)
145.	а)	б)	в)
	г)	д)
146.	а)	б)	в)
	г)	д)
147.	а)	б)	в)
	г)	д)
148.	а)	б)	в)
	г)	д)
149.	а)	б)	в)
	г)	д)
150.	а)	б)	в)
	г)	д)

Задачи №151-180:

Построить график функции , используя общую схему исследования.

151. y = x3 + 6x2 + 9x + 4	166. y = x3 - 6x2 + 9x - 4
152. y = (2 – x)(x + 1)2	167. y = - (x + 1)(x - 2)2
153.	168.
154. y = x3 + 3x2 - 9x + 5	169. y = x3 - 3x2 - 9x - 5
155. y = (x - 6)(x - 3)2	170. y = (x + 5)(x + 2)2
156.	171.
157. y = x3 + 6x2 - 15x + 8	172. y = x3 - 6x2 - 15x - 8
158. y = (1 – x)(x + 2)2	173. y = - (x + 2)(x - 1)2
159.	174.
160. y = x3 - 3x2 - 24x - 28	175. y = x3 + 3x2 - 24x + 28
161. y = (x + 4)(x - 2)2	176. y = (5 – x)(x – 2)2
162.	177.
163. y = x3 + 12x2 + 45x + 50	178. y = x3 - 12x2 + 45x - 50
164. y = (x + 2)(x - 1)2	179. y = (x - 4)(x + 2)2
165.	180.