П. 4.6. Схема исследования функции и построение графика функции

Схема исследования:

1. Найти область определения функции (ООФ – значения переменной х, при которых функция существует).

2. Исследовать функцию на четность – нечетность:

Если f(-x)=f(x), то функция четная (график симметричен относительно оси Оy).

Если f(-x)=-f(x), то функция нечетная (график симметричен относительно начала координат).

3. Найти вертикальные асимптоты.

!!! Вертикальные асимптоты х=х₀ следует искать в точках разрыва функции y=f(x) или на концах ее области определения (a,b), если a и b - конечные числа.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀ (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при х®х₀-0 (слева) или х®х₀+0 (справа) – равен бесконечности, т.е. lim f(x)= или lim f(x)= . Тогда прямая х=х₀ является вертикальной

х®х₀-0 х®х₀+0

асимптотой графика функции y=f(x).

4.Найти горизонтальные асимптоты (исследовать поведение функции в бесконечности).

Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции lim f(x)=b. Тогда прямая y=b есть

^x

горизонтальная асимптота графика функции y=f(x).

Замечание. Если конечен только один из пределов lim f(x)=b_л или

^x

lim f(x)=b_п, то функция имеет левостороннюю y=b _л или правостороннюю

^x

y=b_п горизонтальную асимптоту.

5.Найти наклонную асимптоту.

Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы функции lim и lim[f(x)-kx]=b.

^{x x}

Тогда прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x).

!!! Наклонная асимптота, так же, как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней.

6.Найти экстремумы (максимум, минимум) и интервалы монотонности (возрастание, убывание) функции.

- найти производную функции (разложить ее на множители) и приравнять ее к 0, т.е. ;

- найти корни этого уравнения и точки, в которых производная не существует (критические точки);

- исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции (найти ординаты точек экстремума!);

- на промежутке, где - функция возрастает; на промежутке, где - функция убывает.

7.Найти точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции

- найти вторую производную функции (разложить ее на множители) и приравнять ее к 0, т.е. ;

- найти корни этого уравнения;

- исследовать знак второй производной слева и справа от каждой точки и сделать вывод о наличии точек перегиба функции (найти ординаты точек перегиба!);

- на промежутке, где - функция будет вогнутой; на промежутке, где - функция будет являться выпуклой вверх.

8.Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

!!! Уравнение оси Ох: y=0.

Уравнение оси Oy: х=0.

9. Используя результаты исследования, построить график функции.

Необходимые формулы для решения задач о касательной

1. Общее уравнение прямой:

Ax+By+C=0

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y=kx+b

(k=tgj коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой)

Если две прямые y=k₁x+b₁ и y=k₂+b₂ параллельны, то k₁=k₂.

Если две прямые y=k₁x+b₁ и y=k₂+b₂ перпендикулярны, то k₁*k₂=-1.

3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении(известен коэффициент k):

Пусть прямая проходит через точку M₁(x₁;y₁) и образует с осью Ox угол

y-y₁=k(x-x₁)

4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M₁(x₁;y₁) и M₂(x₂;y₂):

5. Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке x₀ имеет вид

y-f(x₀)=f¢(x₀)(x-x₀)

6. Геометрический смысл производной:

f¢(x₀)=k=tga

(производная f¢(x₀) есть угловой коэффициент(тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке x₀)