Исследование функции с помощью производной
Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Свердловской области
«Сергинский многопрофильный техникум»
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Методические указания и индивидуальные задания к контрольной работе
для студентов заочного отделения
специальность: 230401 Информационные системы (по отраслям)
Верхние Серги
Часть 2
Основы математического анализа.
Методы дифференциального и интегрального исчисления.
Дифференциальные уравнения.
Методические указания и индивидуальные задания
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
И РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ
Основы математического анализа
Понятие функции
Функция
Пусть даны два множества X и Y. Если каждому элементу поставлен в соответствие единственный элемент
, то говорят, что на множестве X задана однозначная функция
.
Графиком функции называется множество точек .
Функция называется четной на множестве D, если
выполняется равенство
,
. График четной функции симметричен относительно оси
.
Функция называется нечетной на множестве D, если
выполняется равенство
,
. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве D, если для любых
,
, выполняется неравенство
(
).
Функция называется ограниченной на множестве D, если
такое число
, что
выполняется
.
Функция называется периодической на множестве D, если
такое число
, что
выполняется
. Наименьшее из этих чисел Т принято называть периодом функции
.
Пусть задана функция с областью определения D и множеством значений Е. если каждому значению
соответствует единственное значение
, то определена функция
с областью определения E и множеством значений D. Такая функция
называется обратной к функции
и записывается
. Функции
и
называются взаимообратными.
Любая строго монотонная функция имеет обратную.
Пусть функция определена на множестве D, а функция
на множестве D1, причем
соответствующее значение
. Тогда на множестве D1 определена функция
, которая называется сложной функцией от x (суперпозицией заданных функций).
Например, функция является суперпозицией двух функций
и
.
6.2. Преобразования графиков функций.
1. График функции можно построить с помощью преобразований (сдвиг, растяжение) графика некоторой уже известной функции.
1) График функции получается из графика функции
сдвигом вдоль оси
на
единиц (вверх, если
, и вниз, если
).
2) График функции получается из графика функции
сдвигом вдоль оси
на
единиц (вправо, если
, и влево, если
).
3) График функции получается из графика функции
растяжением вдоль оси
в
раз.
4) График функции получается из графика функции
сжатием по оси
в
раз.
5) График функции получается из графика функции
симметричным отражением относительно оси
.
6) График функции получается из графика функции
симметричным отражением относительно оси
.
Исследование функции с помощью производной
Определение:Точка х0 называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство:
.
Определение:Точка х0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство:
.
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.
Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.
6.4. Правило нахождения экстремумов функции с помощью первой производной
1. Найти производную функции .
2. Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.
3. Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции . Если на промежутке
, то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке
, то на этом промежутке функция возрастает.
4. Если в окрестности критической точки меняет знак
с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.
5. Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.
С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.
Пример 1: Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: .
Решение: Найдем первую производную функции .
Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение
Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.
![]() | ![]() | 0 | ![]() | 2 | ![]() |
![]() | + | 0 | - | 0 | + |
![]() | ![]() | т. max | ![]() | т. min -4 | ![]() |
Ответ: Функция возрастает при ;
функция убывает при ;
точка минимума функции ;
точка максимума функции .
6.5. Правило нахождения экстремумов функции