Предел числовой последовательности. Предел функции

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана числовая последовательность

x_1, х₂, …, х_n = {x_n}

Общий элемент последовательности является функцией от n:

x_n = f(n).

Таким образом, последовательность может рассматриваться как функция (целочисленного аргумента).

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Пример. 1) {x_n} = {(-1)ⁿ} или {x_n} = -1; 1; -1; 1; …;

2) {x_n} = {sinpn/2} или {x_n} = 1; 0; 1; 0; …

Для последовательностей можно определить следующие операции:

1) Умножение последовательности на число m: m{x_n} = {mx_n}, т.е. mx₁, mx₂, …

2) Сложение (вычитание) последовательностей: {x_n} ± {y_n} = {x_n ± y_n}.

3) Произведение последовательностей: {x_n}×{y_n} = {x_n×y_n}.

4) Частное последовательностей: при {y_n} ¹ 0.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Последовательность {x_n} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Последовательность {x_n}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что x_n £ M.

Последовательность {x_n}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

x_n ³M.

Пример. {x_n} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного e >0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие: Это записывается:

.

В этом случае говорят, что последовательность {x_n}сходится к а при n®¥.

Если отбросить какое - либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Предел функции

Предел функции в точке

yf(x)

A + e

A

A - e

0 a - D a a + D x

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена) (см. рис.).

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что

0 < ïx - aï < D верно неравенство ïf(x) - Aï< e.

То же определение может быть записано в другом виде: если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

Запись предела функции в точке:

Определение. Если f(x) ® A₁ при х ® а только при x < a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A₂ при х ® а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа (см. рис. ниже).

у

f(x)

А₂

А₁

0 a x

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы А₁ и А₂ называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).