Физический смысл производной
ГЛАВА 4
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Раздел математики, в котором изучается понятие производной и дифференциала функции, а также способы их применения к исследованию функций, называют дифференциальным исчислением.
Определение производной
К понятию производной приходят при изучении скорости изменения функции.
Пусть функция 
определена и непрерывна на некотором интервале 
.
Проведем следующие операции:
− аргументу 
дадим приращение 
, такое что 
;
− найдем соответствующее приращение функции:
;
− составим отношение:
;
− найдем предел этого отношения при 
:
.
Если этот предел существует, то его называют производной функции и обозначают одним из символов: 
, 
, 
, 
, 
.
Определение.
Производной функции 
называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Записывают:
или 
.
Производная функции 
есть некоторая функция , произведенная из данной функции.
Определение.
Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Определение.
Функция, имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой на этом интервале.
Примеры
1. Найти производную функции 
.
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
.
2. Найти производную функции 
.
1) 
;
2) 
;
3) 
;
;
.
Геометрический смысл производной
Рассмотрим график функции , непрерывной на интервале (рис.4.1). На кривой выберем произвольную точку 
. Если аргументу х дать приращение , то на графике новому значению аргумента 
будет соответствовать точка 
. Проведем через точки М и 
секущую и пусть φ − угол, который секущая М образует с остью Ох.
 |
Рис. 4.1
Из 
получаем
.
Пусть , тогда точка 
, а секущая М будет стремиться занять положение касательной МТ, проходящей через точку М.
Определение.
Касательной к кривой в точке М называется прямая МТ, являющаяся предельным положением секущей М , при стремлении точки к точке М по кривой (или при ).
Значит, при 
, где 
− угол наклона касательной МТ к оси Ох. Тогда
.
Следовательно,
.
Таким образом, геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной равно тангенсу угла, образованного касательной к графику функции в соответствующей точке, с положительным направлением оси Ох.
Отметим, что понятие производной дает возможность написать уравнение касательной к графику функции.
Уравнение касательной − это уравнение прямой, проходящей через заданную точку: 
, угловой коэффициент которой равен 
.
Следовательно, уравнение касательной будет
или
.
Если касательную к кривой в некоторой точке провести невозможно, то это означает, что функция недифферинцируема в этой точке.
Физический смысл производной
Рассмотрим функцию, аргументом которой является время t. Если функция − пройденный путь 
, тогда отношение
представляет собой среднюю скорость движения за промежуток времени 
. Предел этого отношения (производная по определению)
есть скорость движения в момент времени t или мгновенная скорость движения.
В общем случае, если функция описывает какой-либо физический процесс, то отношение
− средняя скорость изменения у относительно х,
− мгновенная скорость изменения у.
Таким образом, производная есть скорость протекания процесса.
4.4. Зависимость между непрерывностью
и дифференцируемостью функции
Сформулируем необходимое условие существования производной.
Теорема.
Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке функция непрерывна.
Заметим, что обратное утверждение неверно: непрерывная функция может не иметь производной.
Например, функция 
непрерывна при 
, но не дифференцируема для этого значения, так как в точке графика функции не существует касательной.
Таким образом, непрерывность функции необходимое, но не достаточное условие дифференцируемости функции.