Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Понятие дифференциала

Пусть функция y = f(x) дифференцируема при некотором значении переменной x . Следовательно, в точке xсуществует конечная производная

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

Тогда по определению предела функции разность

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru (1)

является бесконечно малой величиной при Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru . Выразив из равенства (1) приращение функции, получим

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru (2)

(величина Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru не зависит от Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru , т. е. остаётся постоянной при Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru ).

Если Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru , то в правой части равенства (2) первое слагаемое Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru линейно относительно Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru . Поэтому при

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

оно является бесконечно малой того же порядка малости, что и Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru . Второе слагаемое Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем первое, так как их отношение Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru стремится к нулю при

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

Поэтому говорят, что первое слагаемое формулы (2) является главной, линейной относительно Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru частью приращения функции; чем меньше Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru , тем большую долю приращения составляет эта часть. Поэтому при малых значениях Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru (и при Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru , т.е.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru (3)

Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом данной функции в точке x и обозначают

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

или

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

Следовательно,

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru (4)

или

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru (5)

Итак, дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.

Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента,

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

- наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x ; в формуле (5) это видно из записи, в формуле (4) – нет.

Дифференциал функции можно записать в другой форме:

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru (6)

или

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной, проведённой к графику этой функции в точке (x; y), при изменении xна величину Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru .

Свойства дифференциала. Инвариантность формы дифференциала

В этом и следующем параграфах каждую из функций будем считать дифференцируемой при всех рассматриваемых значениях её аргументов.

Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru (С – постоянная величина) (8)

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru (9)

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru (10)

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru (11)

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru (12)

Формулы (8) – (12) получаются из соответствующих формул для производной умножением обеих частей каждого равенства на Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru .

Рассмотрим дифференциал сложной функции. Пусть Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru - сложная функция Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru :

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

Дифференциал

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

этой функции, используя формулу для производной сложной функции, можно записать в виде

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

Но Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru есть дифференциал функции Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru , поэтому

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru ,

т.е.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru (13)

Здесь дифференциал записан в том же виде, как и в формуле (7), хотя аргумент Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru является не независимой переменной, а функцией Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru . Следовательно, выражение дифференциала функции в виде произведения производной этой функции на дифференциал её аргумента справедливо независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство называютинвариантностью (неизменностью) формы дифференциала.

Подчеркнём, что в формуле (13) нельзя заменить Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru на Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru , так как

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

для любой функции Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru , кроме линейной.

Пример 2. Записать дифференциал функции

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

двумя способами, выражая его: через дифференциал промежуточной переменной и через дифференциал переменной x . Проверить совпадение полученных выражений.

Решение. Положим

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

Тогда

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

а дифференциал запишется в виде

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

Подставляя в это равенство

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

и

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

Получаем

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Установленное в первом параграфе приближенное равенство

или

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru (14)

позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции.

Запишем приближенное равенство более подробно. Так как

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

а

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

то

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

или

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru (15)

Пример 3. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно ln 1,01.

Решение. Число ln 1,01 является одним из значений функции y = ln x . Формула (15) в данном случае примет вид

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

Положим

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

тогда

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

Следовательно,

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

что является очень хорошим приближением: табличное значение ln 1,01 = 0,0100.

Пример 4.Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

Решение. Число
Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru является одним из значений функции

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

Так как производная этой функции

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

то формула (15) примет вид

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

Полагая

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

и

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

получаем

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

(табличное значение

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru ).

Пользуясь приближенным значением числа, нужно иметь возможность судить о степени его точности. С этой целью вычисляют его абсолютную и относительную погрешности.

Абсолютная погрешность Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru приближенного числа Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru равна абсолютной величине разности между точным числом Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru и его приближенным значением:

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru (16)

Относительной погрешностью Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru приближенного числа Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru называется отношение абсолютной погрешности этого числа к абсолютной величине соответствующего точного числа:

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru (17)

Если точное число неизвестно, то

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru (18)

Иногда, прежде чем применить формулу (15), требуется предварительно преобразовать исходную величину. Как правило, это делается в двух целях. Во-первых, надо добиться, чтобы величина Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru была достаточно малой по сравнению с Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru , так как чем меньше Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru , тем, вообще говоря, точнее результат приближенного вычисления. Во-вторых, желательно, чтобы величина Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru вычислялась просто.

Пример 5.Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru . Оценить точность полученного результата.

Решение. Рассмотрим функцию

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

Её производная равна

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

а формула (15) примет вид

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

В данном случае было бы нерационально вычислять приближенно Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru следующим образом:

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

так как значение

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

не является малым по сравнению со значением производной в точке

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

Здесь удобно предварительно вынести из под корня некоторое число, например 4/3. Тогда

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

Теперь, полагая

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

получим

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

Умножая на 4/3, находим

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

Принимая табличное значение корня

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

за точное число, оценим по формулам (16) и (17) абсолютную и относительную погрешности приближенного значения:

Применение дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

Наши рекомендации