Сведения о приближенных вычислениях 1 страница

При решении физических задач числовые значения, с которыми приходится иметь дело, большей частью являются приближенными. Задачи с приближенными данными нужно решать с соблюдением правил подсчета значащих цифр. Значащими называются все цифры, кроме нуля, а также и нуль в двух случаях: 1) когда он стоит между значащими цифрами; 2) когда он стоит в конце числа и когда известно, что единицы соответствующего разряда в данном числе нет.

Приближенные вычисления следует вести с соблюдением следующих правил:

1. Так как с помощью вычислений получить результат более точный, чем исходные данные, невозможно, то достаточно производить вычисления с числами, содержащими не больше знаков, чем в исходных данных.

2. При сложении или вычитании приближенных чисел, имеющих различную точность, более точное число должно быть округлено до точности менее точного. Например:

9,6 + 0,176 = 9,6 + 0,2 = 9,8;

100,8 - 0,425 = 100,8 - 0,4 = 100,4.

3. При умножении и делении следует в полученном результате сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное число с наименьшим количеством значащих цифр. Например:

0,637 × 0,23 × 5,2 = 0,76, но не 0,761852;

6,32:3 = 2, но не 2,107.

4. При возведении в квадрат или в куб нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеется в основании степени. Например:

1,23² = 1,51, но не 1,5129;

3,01³ = 27,3, но не 27,270901.

5. При извлечении квадратного или кубического корня в результате нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число. Например:

= 1,09 × 10^-3, но не 1,09087 × 10^-3;

= 2,1, но не 2,154.

6. При вычислении сложных выражений соблюдаются указанные правила в зависимости от вида производимых действий. В промежуточных результатах следует сохранять на одну значащую цифру больше. Например: .

Сомножитель 3,1 имеет наименьшее число значащих цифр – две. Поэтому результаты всех промежуточных вычислений должны округляться до трех значащих цифр:

После округления результата до двух значащих цифр получаем 6,1×10^-3.

7. Если число незначительно отличается от единицы, можно пользоваться приближенными формулами.

Если а, b, с много меньше единицы (меньше 0,05), то можно принимать:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

8. Если угол a<<5° и выражен в радианах, то в первом приближении можно принять: ; .

Соблюдая эти правила, студент сэкономит время на вычислении искомых величин при решении физических задач.

УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА ФИЗИКИ

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Основные законы и формулы

· Средняя путевая скорость и среднее ускорение

;

где DS - путь, пройденный точкой за интервал времени Dt.

Путь DS в отличие от разности координат Dx = x₂ – x₁ не может убывать и принимать отрицательные значения, т.е. DS³0.

· Мгновенная скорость и мгновенное ускорение

или ;

· Тангенциальная и нормальная составляющая ускорения

; ,

где R – радиус кривизны траектории.

· Полное ускорение

;

· Кинематическое уравнение равнопеременного движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси X

,

где х_о – начальная координата движущейся точки в момент времени t = 0;

_ox – проекция скорости точки на ось Х в этот момент

времени;

a_x – проекция мгновенного ускорения на ось Х.

· Скорость и путь равнопеременного поступательного движения

· Угловая скорость и угловое ускорение

; .

· Кинематические уравнения равнопеременного вращательного движения

· Связь между линейными и угловыми величинами при вращательном движении: длина дуги, пройденная точкой

,

где j – угол поворота тела,

R – радиус вращения точки;

; ; .

· Импульс (количество движения) материальной точки массой m, движущейся со скоростью ,

.

· Основное уравнение динамики поступательного движения (второй закон Ньютона)

· Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

,

где k – коэффициент упругости;

x – абсолютная деформация;

б) сила трения скольжения

,

где f – коэффициент трения;

N – сила нормального давления;

в) сила гравитационного взаимодействия (сила тяготения)

,

где g – гравитационная постоянная;

m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел;

r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки);

г) сила, действующая на тело, движущееся по дуге окружности радиуса R

.

· Закон сохранения импульса (количества движения) для замкнутой (изолированной) системы

,

или для двух тел (i = 2):

,

где и – скорости тел в начальный момент времени (до взаимодействия);

и – скорости тех же тел после их взаимодействия.

· Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно

, или .

· Потенциальная энергия:

а) упругодеформированного тела

,

где k – коэффициент упругости (жесткость) тела;

x – абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия тел

;

в) тела, поднятого над поверхностью Земли

,

где g – ускорение свободного падения;

h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h<<R_З , где R_З – радиус Земли).

· Закон сохранения полной механической энергии (для замкнутой системы)

Е = Т+П = const.

· Работа А, совершаемая внешними силами, определяется как мера изменения энергии системы (тела): A = DЕ = Е₂ - Е₁

· Работа:

а) постоянной силы F:

,

где a - угол между направлениями силы и перемещения ;

б) переменной силы F:

dS

где a и b – координаты начальной и конечной точек пути;

в) упругой силы

.

· Мощность:

а) средняя за время Dt

;

б) мгновенная

, или .

· Напряженность гравитационного поля Земли

, или ,

где М_З – масса Земли;

R_З – радиус Земли;

h – высота над поверхностью Земли.

· Потенциал гравитационного поля Земли

, или .

· Момент инерции материальной точки

,

где r – радиус (расстояние от точки до оси вращения).

· Момент инерции системы (тела)

, или ,

где dm – элементарная масса тела;

dV – элементарный объем тела;

r – плотность вещества тела.

· Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси, проходящей через центр масс (центр симметрии):

а) полого (тонкостенного) и сплошного цилиндров (или диска) радиуса R

; ;

б) шара радиуса R

;

в) тонкого стержня длиной l, если ось вращения перпендикулярна стержню

;

то же, но ось вращения проходит через один из концов стержня

;

г) тела относительно произвольной оси (теорема Штейнера)

,

где I₀ – момент инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через его центр инерции;

a – расстояние между параллельными осями.

· Момент силы относительно неподвижной оси вращения

, или M = F× d,

где – радиус-вектор;

d – плечо силы F.

· Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки

, или .

· Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

, или .

· Проекция на ось Z момента импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси Z

L_z = I_zw, или ,

где w - угловая скорость тела.

· Закон сохранения момента импульса (количества движения) для изолированной системы

,

где I_i – момент инерции тел относительно оси Z_i;

w_i – угловая скорость вращения тел системы вокруг оси Z.

· Кинетическая энергия вращающегося тела относительно неподвижной оси

, или .

· Работа при вращательном движении

dA = M×dj,

где dj – угол поворота тела.

· Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки

,

где х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия;

А – амплитуда колебаний;

w – круговая или циклическая частота;

j₀ – начальная фаза колебаний;

t – время.

,

где Т – период колебаний точки;

v – частота колебаний.

· Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:

–Awsin(wt+j₀);

–Aw²cos(wt+j₀) = –w²x.

· Сила, под действием которой точка массой m совершает гармоническое колебание (возвращающая сила)

,

где (m – масса точки), .

· Кинетическая и потенциальная энергии колеблющейся точки:

· Полная энергия колеблющейся точки

Е = Т+П = .

· Период собственных колебаний:

а) математического маятника

,

где l – длина маятника;

g – ускорение свободного падения;

б) пружинного маятника

где m – масса колеблющегося тела;

k – жесткость пружины;

в) физического маятника

,

где I – момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний;

а – расстояние до центра тяжести маятника от оси колебаний;

– приведенная длина физического маятника.

· Уравнение затухающих колебаний (в среде, где сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости)

x = A_oe^{-d t}sin(wt+j₁) или x = A_oe^{-d t}cos(wt+j₂),

где А – амплитуда в момент времени t = 0;

е – основание натурального логарифма;

d – коэффициент затухания.

· Логарифмический декремент затухания

где А_i и А_i+1 – амплитуды двух последовательных колебаний.

· Сложение гармонических колебаний одного направления с одинаковой частотой (периодом), но разными амплитудами и начальными фазами:

,

Результирующее колебание выражается уравнением

,

где – амплитуда результирующего колебания;

– его начальная фаза.

· Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний одинакового периода, но разных амплитуд и начальных фаз.

, .

Траектория результирующего колебания задается уравнением:

.

В зависимости от разности фаз и амплитуд это будет либо прямая, либо эллипс, либо окружность.

· Длина волны

,

где Т – период колебания;

– скорость распространения волны;

v – частота колебаний.

· Уравнение плоской бегущей волны:

y = Acosw(t – ) = Acos(wt – kx),

где y – смещение любой из точек среды с координатой x (от источника колебаний) в момент времени t (рисунок 1);

– скорость распространения колебаний в среде;

– волновое число;

l – длина волны.

		Рисунок 1
			Рисунок 2

· Разность фаз двух колеблющихся точек, находящихся на расстояниях х₁ и х₂ от источника колебаний

.

· При падении плоской волны на границу раздела двух сред возникает отраженная волна, которая, складываясь с падающей волной, образует стоячую волну.

· Уравнение стоячей волны

y = 2A cos kx sin wt,

где A(x) = 2A cos kx – амплитуда стоячей волны.

· Амплитуда стоячей волны максимальна в точках, удовлетворяющих условию и называемых пучностями стоячей волны. Здесь n = 0,1,2,3… (рис. 2; точки А, С, Е,…).

· Амплитуда стоячей волны минимальная в точках, удовлетворяющих условию и называемых узлами стоячей волны (рисунок 2; точки В, D, F,…).

Примеры решения задач

Пример 1. Движение тела массой 2 кг задано уравнением х = 6t³+3t+1 (м). Найти зависимость скорости и ускорения от времени. Вычислить силу, действующую на тело, и импульс тела в конце второй секунды.

Дано:	Решение:
x = 6t3+3t+1 m = 2 кг t = 2 с	Мгновенную скорость находим как производную от координаты по времени: Мгновенное ускорение определяется первой
(t)-? A(t)-? F-? p-?

производной от скорости по времени или второй производной от координаты по времени:

; a = 36t.

Сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона: F = ma, где a - ускорение в конце второй секунды.

Тогда F = m×36t; F = 2×36×2 = 144 (H).

Импульс тела p = m = m(18t²+3); p = 2(18×2²+3) = 150 (кг×м/с).

Ответ: = 18t²+3 (м/с); а = 36t (м/с²); F = 144 H; p = 150 кг×м/с.

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону j = A+Bt+Ct², где А = 10 рад, В = 20 рад/с, С = –2 рад/с². Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r = 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с.

Дано:	Решение:
А = 10 рад В = 20 рад/с С = – 2рад/с2 r = 0,1 м	Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и

t = 4 с	нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории (рисунок 3):
a-?

.

Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения

(1).

Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами: , ,

где w – модуль угловой скорости тела;

e – модуль его углового ускорения.

Подставляя выражения и в формулу (1), находим:

(2).

Угловую скорость w найдем, взяв первую производную угла поворота по времени: .

В момент времени t=4 с модуль угловой скорости

w = [20+2×(-2)×4] рад/с = 4 рад/с.

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени: , e = 2С = 2×(-2) рад/с² = – 4 рад/с².

Подставляя значения w, e и r в формулу (2), получаем:

м/с² = 1,65 м/с².

Ответ: а = 1,65 м/с².