Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

1. Теорема о корнях производной (теорема Ролля)

Если функция y=f(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a,b] и на концах отрезка f(a)=f(b)=0, то существует внутри отрезка [a,b] по крайней мере одна точка x=c, a<c<b, в которой производная f’(x) обращается в 0.

Доказательство

Так как f(x) непрерывна на [a,b], то она имеет на этом отрезке наибольшее (М) и наименьшее (m) значения.

Если M=m, то f(x) постоянна, то есть при всех значениях х - f(x)=0 и для . Теорема доказана.

Если , то, полагая M>0 и f(x) принимает наибольшее значение при х=с, то есть f(c)=M, при этом , так как по условию f(a)=f(b)=0

Учитывая, что f(c) - наибольшее значение функции, то при . Отсюда следует

, при (1')

, при (1’’)

Так как по условию теоремы f’(x) существует при х=с, то переходя к пределу при получим

Но соотношения совместимы лишь в том случае, когда f’(c)=0. Следовательно, внутри отрезка [a,b] имеется точка с, в которой f’(c)=0.

Геометрическая интерпретация

Если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекается с осью ОХ в точках x=a,x=b, то на этой кривой найдется, по крайней мере одна точка с абсциссой x=c, a<c<b, в которой касательная параллельна оси ОХ.

1. Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа)

Если y=f(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a,b], то внутри отрезка [a,b] найдется, по крайней мере, одна точка c, a<c<b, что

f(b)-f(a)=f’(c)(b-a) (1)

Доказательство

Обозначим (2)

Рассмотрим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-(x-a)Q (3)

Геометрический смысл F(x) следующий:

Напишем уравнение хорды AB. Учитывая, что ее угловой коэффициент равен и, что она проходит через точку (a,f(a)).

y-f(a)=Q(x-a) , но F(x)=f(x)-[f(a)+Q(x-a)]

следовательно, F(x) для каждого значения х равняется разности ординат кривой f(x) и хорды y=f(a)+Q(x-a) для точек с одинаковой абсциссой.

Так как F(x) непрерывна и дифференцируема на [a,b] и F(a)=F(b)=0, то к ней можно применить теорему Ролля, согласно которой существует точка , что F’(c)=0. Но F’(x)=f’(x)-Q F’(c)=f’(c)-Q=0 . Подставляя это в равенство (2) получаем . Теорема доказана.

Геометрическая интерпретация

Если во всех точках дуги AB существует касательная, то существует точка с, в которой касательная параллельна хорде AB.

1. Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши)

Если непрерывные и дифференцируемые функции на отрезке [a,b], причем , при , то найдется такая точка x=c, a<c<b, что (1)

Доказательство

Обозначим (2)

Отметим, что , так как в противном случае по теореме Ролля обращалась бы в 0 внутри отрезка [a,b], что противоречит условию теоремы.

Составим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-Q (3). Так как F(x) непрерывна и дифференцируема на [a,b] и F(a)=F(b)=0, то к ней можно применить теорему Ролля, согласно которой существует точка , что F’(c)=0.

Но F’(x)=f’(x)-Q F’(c)=f’(c)-Q =0 . Теорема доказана.