Теоремы о дифференцируемых функциях.

Теоремы о дифференцируемых функциях.

Теорема Ферма.

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Пусть функция Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru определена и дифференцируема

на интервале (a;b) и в некоторой точке x0 этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Геометрический смысл теоремы Ферма:

Так как Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , то угловой коэффициент касательной равен нулю Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Þ касательная параллельна оси ОХ.

Теорема Ролля.

Пусть функция Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), причем на концах интервала принимает одинаковые значения Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru . Тогда существует точка сÎ(a;b), значения производной в которой равно 0, т.е. Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Геометрический смысл теоремы Ролля:

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Þ Ккас=0 Þ касательная

в точке c параллельна оси ОX.

Теорема Лагранжа.

Пусть функция Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда существует точка cÎ(a;b), значение производной в которой равно Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Геометрический смысл теоремы Лагранжа:

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Существует точка cÎ(a;b), в которой угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту хорды, соединяющей граничные точки:

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Найдется такая точка на графике, касательная в которой параллельна хорде, стягивающей концы отрезка [a;b].

Теорема Коши.

Пусть функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы на интервале (a;b), причем производная функции g(x) отлична от нуля, g¢(x)¹0. Тогда существует такая точка cÎ(a;b), для которой выполняется равенство: Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Правило Лопиталя.

Теорема.

Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0, за исключением может быть самой точки x0, и Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru . Тогда если существует предел отношения производных функций Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , то существует предел отношения самих функций Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , причем они равны между собой, т.е. Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

В дальнейшем это утверждение будем также называть правилом Лопиталя

Замечание. На практике при раскрытии неопределенности типа Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru можно пользоваться правилом Лопиталя и в случаях, когда x®±¥, x®¥.

Для раскрытия неопределенностей типа Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru существует аналог правила Лопиталя.

Замечание 1. Правилом Лопиталя можно пользоваться при раскрытии неопределенностей вида (¥-¥), (0×¥), (1¥), (¥0), (00), сводя их к неопределенностям типа Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Замечание 2. Если после применения правила Лопиталя опять получаем неопределенность вида Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru или Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , то его можно применить повторно.

Пример: Вычислить пределы по правилу Лопиталя.

1. Чтобы применять правило Лопиталя при неопределенности вида Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru или Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , нужно продифференцировать отдельно числитель и знаменатель дроби, и вычислить полученный предел.

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Вывод: показательная функция (y=an) всегда растет быстрее, чем степенная (у=xn).

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Вывод: логарифмическая функция (y=logax) растет медленнее, чем степенная.

2. Неопределенность вида (0×¥) нужно преобразовать в неопределенность вида Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru или Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , опустив один из множителей в знаменатель в отрицательной степени, и потом применять правило Лопиталя.

3. При показательной неопределенности: (00), (1¥), (¥0); прежде чем применять правило Лопиталя, нужно прологарифмировать этот предел по основанию e.

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru = Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru = Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru =(0×¥)= Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru = Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru = Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru =

= Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru =0;

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Þ A=e0=1.

Формулы Тейлора и Маклорена.

Теорема. Пусть функция Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru n раз дифференцируема в окрестности точки x0. Тогда в этой окрестности для функции Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru справедлива следующая формула Тейлора:

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru +

+ Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Здесь Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru некоторая точка, заключенная между Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru и Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru ( Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru ), зависящая от Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , а Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru = Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru - остаточный член в форме Лагранжа.

Если x0=0, то формула Тейлора превращается в формулу Маклорена:

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru + Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru

Признаки монотонности функции.

Пусть функция Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru определена и непрерывна на промежутке (a;b).

Определение: Функция Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru называется неубывающей (невозрастающей) на (a;b), если для любых x1<x2, принадлежащих (a;b), выполняется Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru ( Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru ).

Определение: Функция Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru называется возрастающей (убывающей) на (a;b), если для любых x1<x2, принадлежащих (a;b), выполняется Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru ( Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru ).

Теорема 1.

Для того чтобы функция Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , дифференцируемая на (a;b), была возрастающей, необходимо, чтобы производная на этом промежутке была неотрицательна, т.е. Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , и достаточно, чтобы Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Теорема 2.

Для того чтобы функция Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , дифференцируемая на (a;b), была убывающей, необходимо, чтобы производная на этом промежутке Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru и достаточно, чтобы Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Пример: Найти интервалы возрастания и убывания функции Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Þ Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Экстремум функции.

Пусть функция Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru определена в окрестности точки x0.

Определение: Точка x0 называется точкой строгого локального максимума, если существует такая ее окрестность точки, в которой выполняется неравенство Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

x0 — max.

Определение: Точка x0 называется точкой строгого локального минимума, если существует такая ее окрестность точки, в которой выполняется неравенство Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

x0 — min.

Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.

Если функция Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , дифференцируемая в точке x0, имеет в этой точке экстремум, то производная Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Точки, в которых производная Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru либо равна 0, либо не существует, называются критическими точками производной.

Замечание 1: Обратное утверждение не верно. Не всякая функция, производная которой в точке равна нулю или не существует, имеет в этой точке экстремум.

Замечание 2. Функция имеет экстремум только в критических точках.

Таблица интегралов.

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru
Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru
Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru
Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru
Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru
Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru
Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru
Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru
Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru
Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru
Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru
Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru
Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru

Й случай.

Интеграл Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru универсальной тригонометрической подстановкой Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru сводится к интегралу от рациональной функции. При этом Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

С учетом сделанной замены получим

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru ,

где Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru - рациональная функция, интеграл от которой рассматривался выше.

Пример: Найти неопределенный интеграл: Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Решение: Сделаем универсальную тригонометрическую подстановку:

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru ; Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Тогда Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Отметим, что универсальную тригонометрическую подстановку, как правило, используют в тех случаях, когда другие подстановки, приведенные ниже не приводят к желаемым результатам.

Й случай.

В интегралах Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , где Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru и Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru входят в подынтегральную рациональную функцию, только в четных степенях делается замена Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru . При этом

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Этой же подстановкой к интегралам от рациональных функций приводятся интегралы вида Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Пример: Найти неопределенный интеграл:

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Решение: Сделаем подстановку:

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru ; Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Тогда Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

3-й случай. Интегрирование выражений вида

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , (6)

где mи n-целые числа. Рассмотрим два случая:

а) Среди чисел m,nесть хотя бы одно нечетное. Тогда за tпринимается функция, стоящая в основании другой степени.

Пример. Найти неопределенный интеграл:

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Решение: Здесь функция Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru стоит в нечетной степени, поэтому Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru ;

б) В выражении (6) оба числаm,n- четные неотрицательные.

Положим m=2p, n=2q и применим формулы:

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Тогда Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru

Раскрыв скобки, получим сумму интегралов, к каждому из которых применим 1-й или 2-й способы:

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Определенный интеграл.

Формула Ньютона-Лейбница.

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru ,

где F(x)-одна из первообразных f(x).

Пример:

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Полярная система координат.

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Рассмотрим на плоскости точкуО, которую называют полюсом, и луч, выходящий из этой точки, который называется полярной осью.

Зададим на полярной оси масштаб. Каждой точке M поставим в соответствие два числа r - длина радиус-вектора Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru и j - угол между радиус-вектором точки M и положительным направлением полярной оси.

Таким образом, любая точка в полярной системе координат будет иметь две координаты M(r,j), r – полярный радиус, j – полярный угол. Очевидно, что r – величина неотрицательная (как длина любого вектора), а угол может выбираться по договоренности (для однозначности определения координат) из промежутков Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru или Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Если угол j откладывается от полярной оси против хода часовой стрелки, то его будем считать положительным, если по часовой стрелке, то отрицательным.

Изображение линий в полярной системе координат.

r= R – окружность с центром в полюсе и радиусом R.

j= a - луч под углом Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru к полярной оси.

r= j – при построении любой кривой в полярной системе координат, нужно задавать различные значения полярного угла j и вычислять соответственно значения полярного радиуса r. Если r получится меньше нуля, то картинки не будет (этой части рисунка не будет)

Спираль Архимеда Кардиоида 3-х лепестковая роза   Лемниската Бернулли
r=j r=1+cosj r=cos3j r=4cosj r2=cos2j
Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru

Связь между декартовой и полярной системами координат.

Если полярную и декартову систему координат совместить так, чтобы полюс совпал с началом координат, а полярная ось с положительным направлением оси 0x, то можно получить формулы перехода от полярных координат (r;j ) к декартовым (x;y):

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , и от декартовых к полярным: Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru

Объем тела вращения.

Определение: Если криволинейная трапеция ограничена линиями y=0; x=a; x=b; y=f(x), где f(x)³0вращается вокруг оси OX, то полученное тело называется телом вращения вокруг оси OX.

Как известно, объем тела выражается через площадь поперечного сечения по формуле: Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru . В данном случае поперечными сечениями являются круги радиусом Rкр=f(x); Sкр=S(x) = pf2(x) ÞVOX= Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Если фигура, ограниченная кривыми y1=f1(x) и y2=f2(x) [0 Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru ] и прямыми x=a, x=b, вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru

Если криволинейная трапеция ограниченная линиями Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru вращается вокруг оси OY, то объем полученного тела вращения VOY= Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Пример: Вычислить объем тела вращения, ограниченного линиями y=0; x=0; x=1; y=ex.

 
  Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru

Теоремы о дифференцируемых функциях.

Теорема Ферма.

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Пусть функция Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru определена и дифференцируема

на интервале (a;b) и в некоторой точке x0 этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Геометрический смысл теоремы Ферма:

Так как Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , то угловой коэффициент касательной равен нулю Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Þ касательная параллельна оси ОХ.

Теорема Ролля.

Пусть функция Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), причем на концах интервала принимает одинаковые значения Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru . Тогда существует точка сÎ(a;b), значения производной в которой равно 0, т.е. Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Геометрический смысл теоремы Ролля:

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Þ Ккас=0 Þ касательная

в точке c параллельна оси ОX.

Теорема Лагранжа.

Пусть функция Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда существует точка cÎ(a;b), значение производной в которой равно Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Геометрический смысл теоремы Лагранжа:

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Существует точка cÎ(a;b), в которой угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту хорды, соединяющей граничные точки:

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Найдется такая точка на графике, касательная в которой параллельна хорде, стягивающей концы отрезка [a;b].

Теорема Коши.

Пусть функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы на интервале (a;b), причем производная функции g(x) отлична от нуля, g¢(x)¹0. Тогда существует такая точка cÎ(a;b), для которой выполняется равенство: Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Правило Лопиталя.

Теорема.

Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0, за исключением может быть самой точки x0, и Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru . Тогда если существует предел отношения производных функций Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , то существует предел отношения самих функций Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , причем они равны между собой, т.е. Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

В дальнейшем это утверждение будем также называть правилом Лопиталя

Замечание. На практике при раскрытии неопределенности типа Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru можно пользоваться правилом Лопиталя и в случаях, когда x®±¥, x®¥.

Для раскрытия неопределенностей типа Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru существует аналог правила Лопиталя.

Замечание 1. Правилом Лопиталя можно пользоваться при раскрытии неопределенностей вида (¥-¥), (0×¥), (1¥), (¥0), (00), сводя их к неопределенностям типа Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Замечание 2. Если после применения правила Лопиталя опять получаем неопределенность вида Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru или Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , то его можно применить повторно.

Пример: Вычислить пределы по правилу Лопиталя.

1. Чтобы применять правило Лопиталя при неопределенности вида Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru или Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , нужно продифференцировать отдельно числитель и знаменатель дроби, и вычислить полученный предел.

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Вывод: показательная функция (y=an) всегда растет быстрее, чем степенная (у=xn).

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Вывод: логарифмическая функция (y=logax) растет медленнее, чем степенная.

2. Неопределенность вида (0×¥) нужно преобразовать в неопределенность вида Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru или Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , опустив один из множителей в знаменатель в отрицательной степени, и потом применять правило Лопиталя.

3. При показательной неопределенности: (00), (1¥), (¥0); прежде чем применять правило Лопиталя, нужно прологарифмировать этот предел по основанию e.

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru = Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru = Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru =(0×¥)= Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru = Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru = Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru =

= Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru =0;

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Þ A=e0=1.

Формулы Тейлора и Маклорена.

Теорема. Пусть функция Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru n раз дифференцируема в окрестности точки x0. Тогда в этой окрестности для функции Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru справедлива следующая формула Тейлора:

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru +

+ Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Здесь Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru некоторая точка, заключенная между Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru и Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru ( Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru ), зависящая от Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , а Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru = Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru - остаточный член в форме Лагранжа.

Если x0=0, то формула Тейлора превращается в формулу Маклорена:

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru + Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru

Признаки монотонности функции.

Пусть функция Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru определена и непрерывна на промежутке (a;b).

Определение: Функция Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru называется неубывающей (невозрастающей) на (a;b), если для любых x1<x2, принадлежащих (a;b), выполняется Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru ( Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru ).

Определение: Функция Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru называется возрастающей (убывающей) на (a;b), если для любых x1<x2, принадлежащих (a;b), выполняется Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru ( Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru ).

Теорема 1.

Для того чтобы функция Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , дифференцируемая на (a;b), была возрастающей, необходимо, чтобы производная на этом промежутке была неотрицательна, т.е. Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , и достаточно, чтобы Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Теорема 2.

Для того чтобы функция Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , дифференцируемая на (a;b), была убывающей, необходимо, чтобы производная на этом промежутке Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru и достаточно, чтобы Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Пример: Найти интервалы возрастания и убывания функции Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Þ Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru Экстремум функции.

Пусть функция Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru определена в окрестности точки x0.

Определение: Точка x0 называется точкой строгого локального максимума, если существует такая ее окрестность точки, в которой выполняется неравенство Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

x0 — max.

Определение: Точка x0 называется точкой строгого локального минимума, если существует такая ее окрестность точки, в которой выполняется неравенство Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

x0 — min.

Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.

Если функция Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru , дифференцируемая в точке x0, имеет в этой точке экстремум, то производная Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru .

Точки, в которых производная Теоремы о дифференцируемых функциях. - student2.ru либо равна 0, либо не существует, называются критическими точками производной.

Замечание 1: Обратное утверждение не верно. Не всякая функция, производная которой в точке равна нулю или не существует, имеет в этой точке экстремум.

Замечание 2. Функция имеет экстремум только в критических точках.

Наши рекомендации