Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

2.1. Локальный экстремум функции

Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки х0 , х0 Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru Определение. Точку х0 назовем точкой локального максимума ( локального минимума ) функции f , если существует δ > 0 такое, что для всякого х, принадлежащего интервалу (х9- δ, х0+ δ) справедливо неравенство f(х)≤ f(х0) ( f(х)≥ f(х0) ) .

На рис. 4 изображен график функции, для которой х1 является точкой локального максимума, а х2 – точкой локального минимума.

Точки локального максимума и локального минимума называют точками локального экстремума функции.

Теорема 1. (Теорема Ферма)Если функция дифференцируема в точке её локального экстремума, то производная функции в этой точке равна нулю.

► Пусть точка х0 является точкой локального максимума функции f , и пусть f дифференцируема в этой точке . Тогда существует Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , а также односторонние производные Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru и Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , причем Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Найдется δ > 0 такое, что для всякого х , принадлежащего интервалу (х0 - δ, х0+ δ) справедливо неравенство f(х) ≤ f(х0). Следовательно, при х Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru0 - δ, х0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ≥ 0 , а при х Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru0 , х0+ δ) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ≤ 0. Отсюда и из теоремы определьном переходе а неравенстве (гл.1, п. 4.5) следует: Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Но Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ; значит, Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , и потому Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru 0.

В случае локального минимума доказательство аналогично. ◄

Следствие. Пусть функция f дифференцируема в точке х0 , а её производная в этой точке отлична от нуля: Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru 0. Тогда х0 не является точкой локального экстремума функции.

2.2. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа

Теорема 2(Теорема Ролля) Пусть функция f непрерывна на сегменте [a,b] , a<b, дифференцируема на интервале (a,b) , а на его концах принимает одинаковые значения: f(a) =f(b). Тогда на интервале (a,b) существует хотя бы одна точка, производная в которой равна нулю.

► Так как f непрерывна на [a,b], она ограничена на нем, и на [a,b] существуют точки Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru и Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru такие,что f( Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ) = m, f( Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ) = M, где Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru (гл. 1, п. 5.3). Очевидно, m≤ M. Если m= M, то функция тождественно на сегменте [a,b] равна константе, а тогда ее производная тождественно на интервале (a,b) равна нулю; следовательно, в случае m= M утверждение теоремы справедливо. Пусть теперь m < M. Так как f(a) =f(b), то хотя бы одна из точек Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru и Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru должна быть внутренней точкой сегмента, т.е. она принадлежит интервалу (a,b). Такая точка, очевидно, является точ- кой локального экстремума; по теореме Ферма производная функции в ней равна нулю.◄

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru Укажем на геометрический смысл доказанной теоремы. На рис. 5 изображен график функции f, удовлетворяющей условию теоремы Ролля. В частности, значения функции в точках a и b одинаковы. Рисунок наглядно демонстрирует, что на графике имеются точки, касательная в которых параллельна оси абсцисс. Если М000) - такая точка, то Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru (см. п.1.5).

Теорема 3.(Теорема Коши) Пусть функции f и g непрерывны на сегменте [a,b] , a<b, дифференцируемы на интервале (a,b) , причем производная Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru не принимает значение нуль на этом интервале. Тогда на (a,b) существует точка ξ такая , что

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

► Заметим: g(b) ≠ g(a). Действительно, если бы имело место равенство g(b) = g(a), то функция g удовлетворила бы условию теоремы Ролля. Значит, производная Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru должна была бы обратиться в нуль хотя бы одной точке интервала (a,b), что противоречит условию доказываемой теоремы.

Обозначим: Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , F(x) = f(x) - Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru g(x). Нетрудно убедиться, что функция F(x) удовлетворяет на [a,b] всем требованиям условия теоремы Ролля. Следовательно, на интервале (a,b) найдется точка ξ , в которой производная Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru принимает значение нуль: Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru 0. Отсюда: Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .◄

Теорема 4.(Теорема Лагранжа) Если функция f непрерывна на сегменте [a,b] , a<b, и дифференцируема на интервале (a,b), то на интервале (a,b) найдется точка ξтакая, что f(b) – f(a) = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru (b – a).

► Пусть g (х) = х на сегменте [a,b]. Нетрудно увидеть, что функции f и g удовлетворяют всем требованиям условия теоремы Коши; значит, на интервале (a,b) най- дется точка ξ такая,что Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , т.е. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , что и требовалось доказать. ◄

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru Замечание 1. Равенство

f(b) – f(a) = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru (b – a)

называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Она имеет прозрачный геометрический смысл. В равенстве Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru слева стоит тангенс угла наклона к оси абсцисс хорды АВ, где А(а,f(а)) , B(b,f(b)), а справа – тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной к графику функции в точке М (ξ, f(ξ)) ( рис. 6) . Значит, хорда и касательная параллельны. Таким образом, утверждение теоремы Лагранжа можно сформулироватьтак: на графике функции существует точка, в которой касательная к графику параллельна хорде, стягивающей его концы.

Замечание 2. Пусть х0 – некоторая точка числовой оси, h ≠ 0, и пусть функция f непрерывна на сегменте,ограниченном точками х0 и х0 + h ( здесь возможно и h>0 , и h<0) и дифференцируема на интервале, ограниченном теми же точками. Тогда по теореме Лагранжа f(х0 + h) – f( х0) = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru h, где ξ – некоторая точка, лежащая между х0 и х0 + h. Это равенство можно записать так: Δ f(h) = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru h. Так как ξ лежит между х0 и х0 + h , то можно подобрать число θ, 0 < θ < 1, так, чтобы выполнялось ξ = х0 + θ h; тогда Δ f(h) = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru + θ h) h.

2.3. Правило Лопиталя

Теоремы предыдущего пункта имеют многочисленные приложения в анализе. В частности, на них опирается так называемое правило Лопиталя – способ вычисления предела функции, который часто оказывается наиболее простым и эффективным.

Теорема 5.Пусть функции α и β дифференцируемы на некотором интервале (a, b), a<b, причем β′(х) ≠ 0 на (a, b), и Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

Если Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , где А есть либо число, либо один из символов +∞ , - ∞ или ∞, то и Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

► Пусть х – точка, выбранная на (a, b). На сегменте [х,b] зададим две функции Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru и Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru :

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ruЭта пара функций удовлетворяет на сегменте [х,b] всем требованиям условия теоремы Коши; значит, на интервале (х,b) существует точка – обозначим её через ξ (х) - такая, что Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , т.е. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Здесь х – произвольная точка интервала (х,b) , и так как х < ξ (х) < b, то при Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ξ (х) стремится к b слева. Отсюда следует:

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . ◄

Теорема 6.Пусть функции α и β дифференцируемы на некотором интервале (a, b), a<b, причем β′(х) ≠ 0 на (a, b), и Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Если Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , где А есть либо число, либо один из символов +∞ , - ∞ или ∞, то и Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

Доказатедьство этой теоремы вполне аналогично доказательству теоремы 5.

Теорема 7.Пусть функции α и β дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru точки х0 Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , причем β′(х) ≠ 0 в Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ruТеоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Если Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , где А есть либо число, либо один из символов +∞ , - ∞ или ∞, то и Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

► Множество Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru представляет собой обьединение двух интервалов (a, х0) и (х0 , b), где a и b - некоторыечисла такие, что a < х0 < b. Так как Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , то Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Применив к (a, х0) теорему 5, а к (х0 , b) теорему 6, получим: Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru и Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ; значит, Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . ◄

Пример 1. Вычислить Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

► В проколотой окрестности нуля Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = (-1,0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru (0,1) числитель α(х) = tgx – x и знаменатель β(x) = arcsinx – ln(1+x) дифференцируемы, а производная β′(x) не принимает значение 0: при х Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru (-1,0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru (0,1)

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru Кроме того, Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , и Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru По теореме 7 искомый предел Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . ◄

Если в тексте теоремы 5 заменить интервал (a, b) на интервал (a,+∞), а символ Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru на символ Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , то получится формулировка теоремы, справедливость которой можно доказать ([3], § 12, п.1). Приведем пример её применения.

Пример 2. Вычислить Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

► Числитель α(х) = π – arctgx и знаменатель β(x) = ln Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru arctgx дифференцируемы на (0,+∞), а производная β′(x) = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru не прини- мает значение 0 на этом интервале. Кроме того, Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , а

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

Значит, искомый предел также равен –π. ◄

Справедливы теоремы, аналогичные теоремам 6 и 7. Формулировку одной из них можно получить, заменив в формулировке теоремы 6 интервал (a, b) на (- ∞, b), а символ Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru на Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Другая теорема получается при замене в тексте теоремы 7 проколотой окрестности Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru окрестностью бесконечности и Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru символом Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

Выше правило Лопиталя ( предел отношения функций равен пределу отношения их производных) применялось для вычисления предела отношения двух бесконечно малых. Это правило применяется и при вычислении предела отношения двух бесконечно больших. Чтобы получить формулировки теорем, на которых оно основывается в случае бесконечно больших функций, нужно в формулировках приведенных выше теорем полагать функции α и β бесконечно большими. Для примера приведем формулировку теоремы, аналогичной теореме 5: пусть функции α и β дифференцируемы на интервале (a, b), a<b, причем β′(х) ≠ 0 на (a, b), и Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Если Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , где А есть либо число, либо один из символов +∞ , - ∞ или ∞, то и Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

Пример 3. Вычислить Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru и Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , где a >1, μ > 0.

► Здесь числители и знаменатели являются бесконечно большими при х→ +∞. Они дифференцируемы на (0, +∞), причем производные знаменателей не принимают на этом интервале значение 0. Имеем: Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Если 0 < μ ≤ 1, то последний предел равен, очевидно, нулю; значит, при 0 < μ ≤ 1 Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = 0. Если же μ > 1, то Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru есть предел отношения двух бесконечно больших, и можно снова приме- нить правило Лопиталя: Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Если 1 < μ ≤ 2, то последний предел равен нулю; значит( с учетом предыдущего результата), при 0 < μ≤ ≤ 2 Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = 0. Если же μ > 2, то Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru есть предел отношения двух бесконечно больших, и мы вновь обращаемся к правилу Лопиталя.

Таким образом, для любого μ > 0 , применив правило Лопиталя n+1 раз, где n есть целая часть μ, получим: Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = 0. ◄

В теоремах и рассмотренных выше примерах правило Лопиталя применялось для вычисления предела отношения двух бесконечно малых или или двух бесконечно больших функций. В других ситуациях, чтобы можно было воспользоваться этим правилом, следует предварительно преобразовать выражение под знаком предела так, чтобы свести задачу к отысканию предела отношения двух бесконечно малых или или двух бесконечно больших функций.

Пример 4. Вычислить Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

► Имеем: Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Вычислим Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Чтобы можно было воспользоваться правилом Лопиталя, преобразуем выражение под знаком предела: Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Предел отношения двух бесконечно больших находим по правилу Лопиталя: Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Итак, Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = 1. ◄

2.4. Формула Тейлора

Пусть n – натуральное число, большее единицы, а х0 – вещественное число.

Определение. Будем говорить, что функция f n раз дифференцируема в точке х0 , если эта функция , а также её производные до порядка n-1 включительно дифференцируемы в точке х0 .

Функция, дифференцируемая в точке, определена в некоторой её окрестности, , причем в этой точке существует производная функции (см. п.1.2). Следовательно, если функция f n раз дифференцируема в точке х0, то она и ее производные до порядка n-2 включительно дифференцируемы в некоторой окрестности этой точки, а производная порядка n-1 дифференцируема по крайней мере в точке х0.. Заметим еще, что n –крат- ная дифференцируемость f в точке х0 эквивалентна существованию в этой точке производных функции до порядка n включительно.

Ради единообразия будем говорить, что функция, дифференцируемая в точке х0 (см. определение в п.1.2), дифференцируема в этой точке один раз.

Пусть функция f n раз, где n – любое натуральное число, дифференцируема в точке х0, Обозначим: t0 = f(x0) ; tk = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , где k = 1, … , n;

Tn(x) = t0 + t1(x-x0) +…+ tn(x-x0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

Числа tk , k = 0, 1, … , n, называют коэффициентами Тейлора функции f . Очевидно, Tn(x) представляет собой алгебраический многочлен степени не выше n ; его называют многочленом Тейлора функции f. Нетрудно убедиться, что в точке х0 значения многочлена Tn(x) и его производных до порядка n включительно совпадают со значениями в этой точке функции f и её соответствующих производных:

Tn(x0) = f(х0) ; T Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru n(x0) = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru при k = 1, … , n. (8) Еще одно свойство многочлена Тейлора описано в следующей теореме.

Теорема 8.(Теорема Тейлора-Пеано) Пусть функция f n раз, где n – любое натуральное число, дифференцируема в точке х0 , Тогда справедлива асимптотическая формула:

f (х) = Tn(x) + о( (х-х0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ) , х→х0 . (9)

► Пусть сначала n= 1, т.е. f дифференцируема в точке х0 ( п.1.2) :

Δ f(h) = f(x0+h) – f(x0) = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru + o(h). Положив здесь h = x –x0 , получим: f(x) – f(x0) = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru (х-х0)+ o(х-х0). Отсюда, так как T1(x) = f(x0) + Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru (х-х0), следует: f (х)=T1(x) + о( (х-х0)), х→х0 . и теорема доказана для случая n= 1.

Пусть теперь n> 1. Обозначим: rn (x) = f (х) - Tn(x) . Требуется доказать, что rn (x) = о( (х-х0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ) , х→х0 , т.е. что Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .Заметим: так как f (х) n раз дифференцируема,то и rn (x) обладает тем же свойством, причем из (8) следуют равенства

rn (x0) = 0; rn Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru (x0) = 0 при k = 1, … , n. (10)

Обозначим: α(х) = rn (x), β(х) = (х-х0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Нетрудно убедиться, что эта пара функций удовлетворяет в окрестности x0 всем требованиям условия теоремы 7 ; значит, если Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru есть либо число, либо один из символов +∞ , - ∞ или ∞, то Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , т.е., если существует конечный или бесконечный предел Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , то Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Снова введем две функции α(х) = r′n (x) и β(х) = n (х-х0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru и применим к ним теорему 7: если существует конечный или бесконечный предел Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ,то Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru и, значит, Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

Повторив это рассуждение n-1 раз, придем к выводу: если существует конечный или бесконечный предел Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , то

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . (11)

Функция α(х) = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru дифференцируема в точке х0 , поэтому α(х)- α(х0) = = α′(х0) (х-х0) +о(х-х0), т.е. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru - Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Но Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = 0 (см. (10)) ; значит, Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . После подстановки в (11), получим:

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = 0, что и требовалось доказать. ◄

Равенство (9) называют разложением функции f по формуле Тейлора в окрестности точки х0 ; слагаемое о( (х-х0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ) называют остаточным членом этой формулы. Ее называют также формулой Тейлора порядка n c остаточным членом в форме Пеано.

Таким образом, разность между функцией f (х) и ее многочленом Тейлора Tn(x) яаляется при х →х0 бесконечно малой, порядок которой выше n. Заметим,что среди всевозможных алгебраических многочленов степени не выше n таким свойством обладает только многочлен Tn(x). Точнее, справедлива следующая теорема.

Теорема 9.(О единственности многочлена наилучшего приближения). Пусть f - -функция, n раз дифференцируемая в точке х0 , а Рn (x) – некоторый алгебраический многочлен степени не выше n. Если справедливо асимптотическое представление

f(х) = Рn (x) + о((х-х0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ). то Рn (x) есть многочлен Тейлора Tn(x) функции f(х) .

► По условию теоремы f(х) = Рn (x) + о((х-х0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ). Кроме того, в силу теоремы Тейлора - Пеано f (х) = Tn(x) + о( (х-х0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ). Вычитая одну формулу из другой, получим: Tn(x) - Рn (x) = о((х-х0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ). Отсюда следует: при х →х0

Tn(x) - Рn (x) → 0 и Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru 0 , j = 1,2, …,n. (12) Имеем: Tn(x) = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , Рn (x)= Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ;

Tn(x) - Рn (x) =(t0 –p0) +(t1 –p1) (x-x0) + (t2 –p2) (x-x0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru + …+ (tn -pn) (x-x0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

Отсюда и из Tn(x) - Рn (x) → 0 следует: t0 –p0 = 0, т.е. t0 = p0 . Значит,

Tn(x) -Рn (x)=(t1 –p1) (x-x0) + (t2 –p2) (x-x0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru +(t3 –p3)(x-x0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru +…+ (tn -pn) (x-x0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ;

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru (t1 –p1) + (t2 –p2) (x-x0) +(t3 –p3)(x-x0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru …+ (tn -pn) (x-x0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Так как Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru 0, то t1 –p1 = 0, т.е. t1 = p1. Следовательно,

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru (t2 –p2) (x-x0) +(t3 –p3)(x-x0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru + …+ (tn -pn) (x-x0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ;

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru (t2 –p2) +(t3 –p3)(x-x0) +…+ (tn -pn) (x-x0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Отсюда, так как Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , следует t2 =p2..

Продолжая описанный процесс и используя равенства (12), в итоге докажем равенства tk = pk , k = 1,2, …, n . Значит, Tn(x)≡ Рn (x). ◄

Приведем несколько примеров разложений функций по формуле Тейлора в окрестности х0 = 0. Такие разложения называют также разложениями (формулами ) Маклорена.

Пример 5, Пусть f(х)= Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , х0 = 0.

Эта функция имеет производные любого порядка; поэтому для нее формулу (9) можно записать при любом натуральном n. Пусть k – неко- торое натуральное число; имеем: f Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru (х)= Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Найдем коэффициенты Тейлора: t0 = f(0)= Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru =1; при всяком натуральном k tk = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

Пусть n – любое натуральное число Запишем многочлен Тейлора степени n: Tn(x) = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Таким образом, разложение порядка n функции f(х)= Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru в окрестности х0 = 0 выглядит так:

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

Пример 6. Пусть f(х)= sinx , х0 = 0.

При любом натуральном k Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru (см., нпример, [3], п. 11.1). Найдем коэффициенты Тейлора : t0 = f(0)= sin0 = 0 ; при k ≥ 1

tk = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru

Пусть n – любое натуральное число. Запишем формулу Маклорена порядка 2 n для функции sinx: sinx = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru + o( Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ), т.е.

sinx = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

Пример 7. Пусть f(х)=cos x , х0 = 0.

При любом натуральном k Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Найдем коэффециенты Тейлора : t0 = f(0)= cos0 = 1 ; при k ≥ 1

tk = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru

Пусть n – любое натуральное число. Запишем формулу Маклорена порядка 2 n+1для функции cosx: cosx = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru + o( Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ), т.е.

cosx = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

Пример 8. Пусть f(х)=ln(1+x) , х0 = 0.

Методом математической индукции нетрудно проверить: при всяком натуральном k Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Значит, t0 = f(0) = 0 , при всяком натуральном k tk = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Пусть n – любое натуральное число. Запишем формулу Маклорена порядка n : ln(1+x) = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru + o( Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ), т.е.

ln(1+x) = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

Пример 9. Пусть f(х)=(1+x) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , где μ – любое вещественное число, х0 = 0.

Методом математической индукции нетрудно проверить: при всяком натуральном k Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Найдем коэффециенты Тейлора : t0 = f(0)= 1 ; при k ≥ 1 tk = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Пусть n – любое натуральное число. Запишем формулу Маклорена порядка n : (1+x) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru + o( Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ), т.е.

(1+x) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

Пусть функция f дифференцируема n раз в точке х0 , причем f(х0) = 0. Тогда функция f является бесконечно малой при х → х0 , t0 = f(0)= 0, и формула (8) принимает вид:

f (x) = t1(х-х0) + t2(x-x0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru +…+ tn(x-x0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru + о((х-х0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ). Среди коэффициентов t1, t2, …, tn также могут оказаться равные нулю; не исключен и такой случай, когда все они равны нулю. Таким образом, если функция f является бесконечно малой при х → х0 , возможны два случая: либо найдется натуральное р, 1≤ р ≤ n, такое,что tk = 0, k = 0,1, …, p-1, a t р≠ 0, либо все коэффициенты t1, t2, …, tn равны нулю.В первом случае

f (x) = tр(х-х0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru + tр+1(x-x0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru +…+ tn(x-x0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru + о((х-х0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru )=

= tр(х-х0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru + о((х-х0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ) ; значит, при х → х0 f (x) является бесконечно малой порядка р , а tр(х-х0) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru есть её главная часть. Во втором случае, очевидно, порядок бесконечно малой f (x) выше n. Из сказанного видно, что разложения по формуле Тейлора могут быть использованы для определения порядка бесконечно малых и выделения их главных частей.

Пример 10. Вычислить Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

► Воспользуемся разложением примера 6: Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Отсюда: Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ; значит, главная часть знаменателя есть - Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Воспользуемся разложением примера 8: Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ; отсюда: Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Значит, главная часть числителя есть Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Заменив числитель и знаменатель их главными частями, получим:

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . ◄

Разложения по формуле Тейлора широко используются в приближенных вычислениях. Из представления (9) следует, что при х, близких к х0 , f(x) “почти не отличается” от Tn(x); значит, Tn(x) может быть принято в качестве приближенного значения f(x) . Однако, формула (9) не дает возможности оценить погрешность приближенного равенства f(x) ≈ Tn(x). В приведенной ниже теореме к функции f предьявляются более жесткие сравнительно с теоремой 8 требования, зато остаточный член формулы Тейлора записан в виде, удобном для получения оценки погрешности.

Теорема 10.(Теорема Тейлора - Лагранжа) Пусть функция f n +1раз дифференгцируема в некоторой окрестности Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru точки х0 , х0 Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Тогда для всякого х, х Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , х ≠ х0 , найдется ξ , лежащее между х и х0 , такое что справедливо равенство: f (х) - Tn(x) = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

► Пусть х Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , и пусть для определенности х > х0 . На сегменте [х0 , х] определим две функции φ и ψ: при z Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

Эти функции удовлетворяют на сегменте [х0 , х] всем требованиям условия теоремы Коши (теоремы 3). Следовательно, существует ξ Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru0 , х] такое, что Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . т.е. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

При z Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru имеем:

φ′( z) = - Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = - Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru Суммы Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru и Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru состоят из одних и тех же слагаемых, эти суммы одинаковы; поэтому после сокращений получим: φ′( z) = - Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Следовательно, φ′( ξ) = - Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Заметим еще: Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Подставив φ′( ξ) и ψ′( ξ) в равенство Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru (см. выше), окончательно получим: f (х) - Tn(x) = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

В случае х < х0 доказательство аналогично. ◄

Приведем пример применения этой теоремы.

Пример 11. Найдем приближенное значеиие Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Положим f(x)= = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , х = = 8,12, х0 =8, и запишем формулу Тейлора-Лагранжа при n= 1: Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , т.е. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , где ξ – некоторое число, 8 < ξ < 8,12. Подсчитаем Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Имеем: Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , т.е. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = 2 + Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Таким образом, Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ≈ ≈ Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru (см. также пример 12, § 1). Оценим погрешность этого равенства. Имеем: Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , т.е. | Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru - Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru | = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Отсюда, так как 8 < ξ < 8,12 : | Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru - Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru | Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = 0,00005. Итак, абсолютная погрешность приближенного равенства Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ruТеоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru не превышает 0,00005.

2.5. Дифференциалы высших порядков

Если функция f дифференцируема в точке х0 , то для её приращения Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru справедливо асимптотическое представление Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ( h) = Аh + o(h), где A = f′(x0) (см. п.1.4). Покажем, что если функция f n , n>1, раз дифференцируема в точке х0 , то существует единственный набор чисел A1, A2, …, An такой, что для её приращения Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru справедливо асимптотическое представление Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ( h) = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

Действительно, пусть функция f определена в окрестности Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = (α , β), α < Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru < <β, и n , n>1, раз дифференцируема в точке х0. Запишем для неё формулу Тейлора – Пеано порядка n:

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Положим h = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = x - x0 , x = x0 + h; так как Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru (α , β), то Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru = (α - Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , β - Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ). Перенеся f(x0) налево, получим:

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru Мы получили представление Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ( h) = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , в котором Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . Его единственность вытекает из теоремы 9 предыдущего пункта. Заметим, что первое слагаемое в правой части этого представления есть дифференциал df(h) .

Определение. Дифференциалом порядка k , k = 2,3, …,n, функции f в точке х0 назовем выражение Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , где h принимает значения в окрестности точки 0: Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

.

Обозначать дифференциал порядка k функции f в точке х0 будем символом Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru , а также символом Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ( h). Таким образом,

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ( h) Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru . k = 2,3, …n. Ради единообразия и удобств при записи формул дифференциал df(h) = Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru h часто называют дифференциалом первого порядка, обозначая его через Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru или Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ( h). Тогда для приращения n раз дифференцируемой функции можно записать представление через дифференциалы: Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru .

Основные свойства дифференциалов высших порядков вытекают непосредственно из свойств производных высших порядков: пустьфункции f и g n , n>1, раз дифференцируемы в точке х0 ; тогда

1. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru

2. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru 3. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru ( здесь сомволы Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru и Теоремы о среднем для дифференцируемых функций - student2.ru означают f(x0) и g(x0) соответственно),

Свойством инвариантности формы дифференциалы высших порядков не обладают.

Наши рекомендации