Динамика материальной точки и

КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО

И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

1.Велосипедист проехал первую половину времени своего движения со скоростью u₁ = 16 км/ч, вторую половину времени – со скоростью u₂ = 12 км/ч. Определить среднюю скорость движения велосипедиста.

Ответ:

2.Точка прошла половину пути со скоростью u₀. На оставшейся части пути она половину времени двигалась со скоростью u₁, а последний участок прошла со скоростью u₂. Найти среднюю за все время движения скорость точки.

Ответ: .

3.За промежуток времени t точка прошла половину окружности радиуса R. Вычислить за это время: а) среднее значение модуля скорости ; б) модуль среднего вектора скорости ; в) модуль среднего вектора полного ускорения , если точка двигалась с постоянным тангенциальным ускорением.

Ответ: а) ;

б) ;

в) .

4.От бакена, который находится на середине широкой реки, отошли две лодки: А и В. Обе лодки стали двигаться по взаимно перпендикулярным прямым: лодка А – вдоль реки, а В – поперек. Удалившись на одинаковое расстояние от бакена, лодки вернулись затем обратно. Найти отношение времен движения лодок , если скорость каждой лодки относительно воды в h = 1,2 раза больше скорости течения.

Ответ:

5.Из пункта А, находящегося на шоссе (cм. рис.), необходимо за кратчайшее время попасть на машине в пункт В, расположенный в поле на расстоянии l от шоссе. Известно, что скорость машины по полю в hраз меньше ее скорости по шоссе. На каком расстоянии от точки D следует свернуть с шоссе?   Ответ:

6.Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = A–Bt+Ct²+Dt³, где A = 6,0 м, B = 3,0 м/с, C = 3,0 м/c², D = 1,0 м/с³. Определить для тела в интервале времени от t₁ = 1,0 с до t₂ = 4,0 с: а) среднюю скорость ; б) среднее ускорение .

Ответ: а)

б)

7.Радиус-вектор точки А относительно начала координат меняется со временем t по закону , где a и b – постоянные, и – орты осей x и y. Найти: а) уравнение траектории точки y (x), изобразить ее график; б) зависимости от времени скорости , ускорения и модулей этих величин; в) зависимость от времени угла j между векторами и .

Ответ: а) ;

б) , , , ;

в) .

8.Точка движется в плоскости xy из положения с координатами x = y = 0, со скоростью , где a и b – постоянные, и – орты осей x и y соответственно. Определить: а) уравнение траектории точки y (x); б) форму траектории.

Ответ: а) ; б) парабола.

9.Зависимость пройденного телом пути по окружности радиусом r = 3,0 м задается уравнением , где а Определить для момента времени t = 1,0 с после начала движения следующие ускорения: а) нормальное; б) тангенциальное; в) полное.

Ответ: а)

б)

в)

10.В момент t = 0 частица вышла из начала координат в положительном направлении оси х. Ее скорость меняется со временем по закону , где – начальная скорость, модуль которой u₀ = 10 см/с, t = 5,0 с. Найти координату х частицы в момент времени 6,0; 10 и 20 с.

Ответ: x = u₀t(1 – t/2t) и соответственно x = 0,24; 0 и –4,0 м.

11.Радиус-вектор частицы меняется со временем t по закону , где – постоянный вектор, a – положительная постоянная. Найти: а) скорость и ускорение частицы в зависимости от времени; б) промежуток времени Dt, по истечении которого частица вернется в исходную точку, а также путь s, который она пройдет при этом.

Ответ: a) , const;

б) Dt = 1/a, s = b/2a.

12.Точка движется в плоскости xy по закону x = at, y = at (1 – bt), где a и b – положительные постоянные. Найти: а) уравнение траектории точки y (x); изобразить ее график; б) скорость u и ускорение а точки в зависи-мости от t; в) момент t₀, когда угол между скоростью и ускорением равен p/4.

Ответ: а) y = x–x²b/a;

б) u = ; a = 2ba;

в) t₀ = 1/b.

13.Диск радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе диска , от времени задается уравне-нием , где а Определить момент времени, для которого вектор полного ускорения образует с радиусом колеса угол .

Ответ: t = 2 с.

14.Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением Определить полное ускорение a точки диска к концу второй секунды движения, если ее линейная скорость в этот момент u = 0,40 м/с.

Ответ:

15.Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что угол его поворота меняется в зависимости от времени по закону , где a и b – положительные постоянные. Найти момент времени t, в который тело останавливается, а также число оборотов N тела до остановки.

Ответ: , .

16.Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону j = at – bt³, где а и b – положительные постоянные. Найти: а) средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t = 0 до остановки; б) угловое ускорение в момент остановки тела.

Ответ: а) <w> = 2а/3, <b> = ;

б) b = .

17.Твердое тело вращается, замедляясь, вокруг неподвижной оси с угловым ускорением b ~ , где w – его угловая скорость. Найти среднюю угловую скорость тела за время, в течение которого оно будет вращаться, если в начальный момент его угловая скорость была равна w₀.

Ответ: .

18.Круглый конус с углом полураствора a и радиусом основания R катится равномерно без скольжения по горизонтальной плоскости, как показано на рис. Вершина конуса закреплена шарнирно в точке О, которая находится на одном уровне с точкой С – центром основания конуса. Скорость точки С равна u. Найти модули:

а) угловой скорости конуса; б) углового ускорения конуса. Ответ: а) w = u / (R cos a); б) tg a.

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И