Применение определенного интеграла
В экономике
Дисконтированный доход при непрерывном начислении процентов равен
где – функция ежегодного дохода;
i – удельная норма процента;
T – время начисления дохода.
2.62. Определить дисконтированный доход за T лет при процентной ставке I %, если первоначальное капиталовложение составило 1 млрд руб. и будет увеличиваться ежегодно на 0,2 млрд руб.:
1) T = 5, i = 10; 2) T = 10, i = 2.
Среднее время, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от до изделий равно
,
где функция t = t(x) часто имеет вид
где а – затраты времени на первое изделие;
b – показатель производительности процесса.
2.63. Найти среднее время, затраченное на изготовление одного изделия, если:
1)
2)
Несобственные интегралы
.
Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.
Примеры.
интеграл сходится.
2) – не существует, интеграл расходится.
интеграл сходится.
2.64. Вычислить интегралы или установить их расходимость:
1) 2) ; 3) ; 4) 5) ;
6) ; 7) 8) 9) 10)
2.65. Вычислить интегралы или установить их расходимость:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
Функции нескольких переменных
Определение. Областью определения функции называется множество точек плоскости Оху, в которых функция определена.
Линия уровня функции задается уравнением z = C или .
Пример 2.7.
Найти область определения функции:
1. 2.
Решение.
1. Область определения задается условием: 9 – x2 – y2> 0 или x2 + y2< 9, т. е. представляет собой незамкнутый круг с центром в начале координат радиуса 3.
2. Имеем: x – y ≥ 0 или y ≤ x, т. е. область определения – это полуплоскость, лежащая ниже прямой y = x,и сама прямая.
2.66. Построить область определения функции:
2.67. Найти линии уровня функций:
Частные производные, дифференциал,
Градиент функции
Определение. Частные производные функции z = z(x, y):
если пределы существуют.
Определение. Дифференциалом функции z = z(x, y) называется выражение
Определение. Градиентом функции z = z(x, y) называется вектор
Пример 2.8.
Найти частные производные и (или и ) функции
Решение.
2.68. Найти и :
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
2.69. Найти дифференциал функции z в точке М(–2; 1):
1) если
2) если
2.70. Найти градиент и линию уровня функции в точке Р, сделать рисунок:
1) 2)
3) 4)
2.71. Найти модуль градиента функции:
1) в точке А(1; –2; 0);
2) в точке А(0; 1; –2).
Частные производные 2-го порядка.
Исследование функции на экстремум
Пример 2.9.
Найти частные производные второго порядка функции
z = x2y3+2y.
Решение.
= = = 2y3 = 2y3,
= = = 2х = 6xy2,
= = =3y2 = 6xy2,
= = = 3х2 = 6x2y.
2.72. Найти частные производные второго порядка :
1) 2)
3) 4)
2.73. Доказать, что если то
Схема исследования функции z = z(x, y) на экстремум:
1. Найти частные производные , и решить систему уравнений
Решениями системы будут критические точки функции.
2. Найти частные производные 2-го порядка.
3. Для каждой критической точки вычислить определитель
Если ∆ > 0, то критическая точка является точкой максимума/минимума функции при условии < 0/ > 0.
Если ∆ < 0, то критическая точка не является точкой экстремума.
Если ∆ = 0, то требуется дополнительное исследование (изучается вопрос о знакопостоянстве функции в окрестности критической точки).
4. Вычислить экстремумы функции, подставив координаты точек экстремумов в уравнение z = z(x, y).
Пример 2.10.
Производятся два вида товаров, в количествах х ед. и y ед. Пусть 8 и 10 ден. ед. – цены на эти товары соответственно, а S = x2 + xy + y2 – функция затрат. Определить оптимальный выпуск товаров, при котором предприятие получит максимальную прибыль.
Решение.
Функция прибыли имеет вид:
П(х, y) = 8х + 10y – x2 – xy – y2.
Вычислим частные производные первого порядка:
Пх΄ = 8 – 2х – y, Пy΄ = 10 – х – 2y.
Найдем критические точки функции как решение системы уравнений
получаем точку (2; 4).
Найдем частные производные второго порядка:
= –2, = = –1, = –2.
Так как и = –2 < 0, то в точке (2;4) функция прибыли имеет максимум: Пmax = П (2; 4) = 28.
Следовательно, для получения максимальной прибыли в 28 денежных единиц необходимо произвести 2 ед. товара первого вида и 4 ед. – второго вида.
2.74. Исследовать функцию на экстремумы:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
2.75. Производственная функция (в ден. ед.) имеет вид где х и у – количество ед. соответственно 1-го и 2-го ресурсов. Стоимость ед. первого ресурса – 5, а второго – 10 (ден. ед.). Найти максимальную прибыль при использовании этих ресурсов.
2.76. Как распределить сумму в $10 млн между тремя компаниями так, чтобы их суммарная прибыль была наибольшей, если прибыль каждой определяется соответственно по формуле: где – инвестируемая сумма?
2.77. Исследовать функцию на экстремумы и найти наименьшее и наибольшее значения в заданной области:
1) АВО: А(–5; 0), В(0;–5), О(0; 0);
2) АВС: А(2; 0), В(0; 2), С(0;–2).
2.78. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данную сумму длин ребер а, найти параллелепипед, имеющий наибольший объем.