Прямая, как линия пресечения двух плоскостей
Даны две плоскости: и с перпендикулярами и . Пусть эти плоскости пересекаются. Пересечение плоскостей образует прямую . Т. е. и . Следовательно, общее уравнение прямой l будет определятся системой уравнений
|
3.1. Переход от общего уравнения прямой к каноническому
Поскольку и , то и . Следовательно и . То есть . Решим систему (8). Поскольку плоскости пересекаются , то . Свободных неизвестных: 3-2=1. Пусть , тогда, подставляя ее в (8), получим систему уравнений определяющих точку прямой .
ПРИМЕР 1.
Прямая задана системой . Представим это уравнение в каноническом виде. Определим направляющий вектор
.
Определим точку . Примем .
.
Вычитаем из первого уравнения второе и получим , откуда , , а точка , а уравнение прямой в каноническом виде
.
3.2. Переход от канонического уравнения прямой к общему
Запишем (7) в виде системы уравнений
. (9)
|
4. Угол между двумя прямыми в пространстве
Заданы две прямые в пространстве и . Определим угол . Угол между прямыми определяется углом между направляющими векторами
. (10)
4.1. Условие перпендикулярности прямых
или .
4.2. Условие параллельности прямых
или .
5. Угол прямой с плоскостью
Дана плоскость и прямая
.
Определение 1.
Углом прямой с плоскостью называется угол, образованный этой прямой и ее проекцией на плоскость .
Учитывая и правило скалярного произведения, определим
. (10)
|
или .
5.2. Условие параллельности прямой и плоскости
или .
ПРИМЕР 2.
Даны: и . Их расположение:
а) и не перпендикулярны.
б) и не параллельны.
в) .
6. Точка пересечения прямой и плоскости
Дана плоскость и прямая . Тогда точка пересечения будет определяться системой уравнений
= . (11)
Откуда ,
.
Рассмотрим три случая:
1. Если , то . Тогда t подставляем в (11).
2. Если и , тогда t – множество и .
3. Если , но , тогда решений нет и l не пересекает , т. е. .
|
Даны: точка и плоскость . Определить точку проекции М1на плоскость. Определим их положение.
Запишем с учетом уравнение прямой, проходящей через точку М , тогда точка пересечения будет определяться системой , откуда . Т. е. .
Заключение
В лекции рассматривалось уравнение прямой в пространстве. Важно понять, что плоскость – это частный случай уравнения прямой. Отметим, что условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве аналогичны условиям для плоскостей. При определении прямой как линии пересечения двух плоскостей необходимо знать правило векторного умножения. В следующей лекции будет рассматриваться частный случай прямой в декартовой системе координат на плоскости. Отметим следующее:
- в каноническом уравнении прямой в пространстве двойное равенство;
- общее уравнение прямой в пространстве задается системой двух уравнений плоскости в пространстве;
- если в уравнении прямой отсутствует переменная, то это уравнение плоскости в ;
- угол между плоскостями определяется на основе скалярного произведения векторов нормалей к плоскостям;
- угол между прямой и плоскостью определяется не через косинус, а через синус угла;
- при определении точки пересечения прямой и плоскости необходимо решать систему уравнений.
Литература
1. Рыжков В.В. Лекции по аналитической геометрии. - М.: Факториал пресс, 2000. – 208 с.
2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.
3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989, - 659 с.
|