Прямая, как линия пресечения двух плоскостей

Даны две плоскости: Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru и Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru с перпендикулярами Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru и Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru . Пусть эти плоскости пересекаются. Пересечение плоскостей образует прямую Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru . Т. е. Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru и Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru . Следовательно, общее уравнение прямой l будет определятся системой уравнений

Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru . (8)

3.1. Переход от общего уравнения прямой к каноническому

Поскольку Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru и Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru , то Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru и Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru . Следовательно Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru и Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru . То есть Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru . Решим систему (8). Поскольку плоскости пересекаются Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru , то Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru . Свободных неизвестных: 3-2=1. Пусть Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru , тогда, подставляя ее в (8), получим систему уравнений определяющих точку прямой Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru .

ПРИМЕР 1.

Прямая задана системой Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru . Представим это уравнение в каноническом виде. Определим направляющий вектор

Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru .

Определим точку Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru . Примем Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru .

Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru .

Вычитаем из первого уравнения второе и получим Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru , откуда Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru , Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru , а точка Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru , а уравнение прямой в каноническом виде

Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru .

3.2. Переход от канонического уравнения прямой к общему

Запишем (7) в виде системы уравнений

Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru . (9)

Т. е. прямая в пространстве может быть образована двумя плоскостями Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru и Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru или двумя плоскостями, параллельными двум координатным осям.

4. Угол между двумя прямыми в пространстве

Заданы две прямые в пространстве Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru и Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru . Определим угол Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru . Угол между прямыми определяется углом между направляющими векторами

Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru . (10)

4.1. Условие перпендикулярности прямых

Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru или Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru .

4.2. Условие параллельности прямых

Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru или Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru .

5. Угол прямой с плоскостью

Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru Дана плоскость Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru и прямая

Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru .

Определение 1.

Углом прямой с плоскостью называется угол, образованный этой прямой и ее проекцией на плоскость Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru .

Учитывая Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru и правило скалярного произведения, определим

Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru . (10)

5.1. Условие перпендикулярности прямой и плоскости

Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru или Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru .

5.2. Условие параллельности прямой и плоскости

Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru или Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru .

ПРИМЕР 2.

Даны: Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru и Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru . Их расположение:

а) Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru и Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru не перпендикулярны.

б) Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru и Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru не параллельны.

в) Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru .

6. Точка пересечения прямой и плоскости

Дана плоскость Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru и прямая Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru . Тогда точка пересечения будет определяться системой уравнений

Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru = Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru . (11)

Откуда Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru ,

Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru .

Рассмотрим три случая:

1. Если Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru , то Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru . Тогда t подставляем в (11).

2. Если Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru и Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru , тогда t – множество и Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru .

3. Если Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru , но Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru , тогда решений нет и l не пересекает Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru , т. е. Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru .

ПРИМЕР 3.

Даны: точка Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru и плоскость Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru . Определить точку проекции М1на плоскость. Определим их положение.

Запишем с учетом Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru уравнение прямой, проходящей через точку М Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru , тогда точка пересечения будет определяться системой Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru , откуда Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru . Т. е. Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru .

Заключение

В лекции рассматривалось уравнение прямой в пространстве. Важно понять, что плоскость – это частный случай уравнения прямой. Отметим, что условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве аналогичны условиям для плоскостей. При определении прямой как линии пересечения двух плоскостей необходимо знать правило векторного умножения. В следующей лекции будет рассматриваться частный случай прямой в декартовой системе координат на плоскости. Отметим следующее:

- в каноническом уравнении прямой в пространстве двойное равенство;

- общее уравнение прямой в пространстве задается системой двух уравнений плоскости в пространстве;

- если в уравнении прямой отсутствует переменная, то это уравнение плоскости в Прямая, как линия пресечения двух плоскостей - student2.ru ;

- угол между плоскостями определяется на основе скалярного произведения векторов нормалей к плоскостям;

- угол между прямой и плоскостью определяется не через косинус, а через синус угла;

- при определении точки пересечения прямой и плоскости необходимо решать систему уравнений.

Литература

1. Рыжков В.В. Лекции по аналитической геометрии. - М.: Факториал пресс, 2000. – 208 с.

2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.

3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989, - 659 с.

Лекция 13

Наши рекомендации